基于Cole-Hopf变换的Burgers方程的格子Boltzmann模型

摘要

Burgers方程是众多偏微分方程中的一种，它广泛应用于流体力学、非线性声学、气体动力学等领域。然而，由于非线性对流项的存在，使得在计算过程中容易产生不稳定的解，进而给传统的计算方法带来了极大的挑战。近些年，介观的格子Boltzmann(LB)方法作为一种新兴的数值计算方法，它有复杂边界处理简单化、算法计算高效化、易于并行化等优点，这为它能很好的模拟复杂流体流动和求解偏微分方程提供了重要的保证。本文主要在Cole-Hopf变换的基础上用LB方法求解Burgers方程。 本文针对非线性Burgers方程建立了一个新的LB计算模型。首先，借助Cole-Hopf变换，消除了Burgers方程中的非线性项，将其转换成了一个线性的扩散方程。进而，针对扩散方程建立了LB模型，该模型主要有几点优势：一是扩散方程中的平衡态分布函数是线性的，简化了计算量；二是梯度项是通过分布函数的非平衡态部分来近似计算的，进而保持了LB方法可局部计算的优势；三是通过Chapman-Enskog(CE)分析能准确恢复扩散方程。紧接着，通过Cole-Hopf变换代换求得Burgers方程的解。最后，通过对不同粘性系数的一维和二维问题分别进行数值模拟，并与传统LB方法做了对比。结果表明，模型的结果更加准确，并且具有空间二阶收敛精度。

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