关于丢番图方程x±p=Dy解的讨论

摘要

丢番图方程是数论中最古老的一个分支，其内容极其丰富，与代数数论、代数几何、组合数学等有密切的联系。近三十年来，这个领域又有其重要的发展，如在信息编码理论、代数数论、以及丢番图分析理论中都要用到不少类型的三次丢番图方程的结果，这就迫使我们有必要研究三次丢番图方程的一些基本类型的解法。对于一次和二次丢番图方程的解法，已经基本成熟，而对于三次丢番图方程的解法，还没有一般的结论，有待于进一步讨论。数论界的前辈柯召、孙琦等人对x3±(pk)3=Dy2这一类型的丢番图方程进行了研究，其中D不含6k+1型素因子，得出了一般性结论。而对于D含有一个6k+1型素因子的情况，研究的人尚不多见。
　　 本文用初等方法讨论了一类丢番图方程x3±p3=Dy2解的情况，其中D是正整数、无平方因子且含有一个6k+1型素因子，p为任意素数，给出了该类方程无非平凡正整数解的一些充分性条件。
　　 全文共分三部分，主要内容如下：
　　 第一章阐述了本文的主要内容、背景和意义，为后面的结论做好准备。
　　 第二章给出了p为固定值时，方程x3±p3=Dy2无非平凡正整数解的一些充分性条件，其中包含四个结论，并给出了严格的证明。
　　 第三章给出了p为任意素数时方程x3±p3=Dy2无非平凡正整数解的一些充分性条件。

目录

文摘

英文文摘

声明

第1章绪论

1.1课题的学术背景及理论与实际意义

1.1.1国外发展概况

1.1.2国内研究现状

1.2丢番图方程在数学领域的应用

1.3研究丢番图方程的方法

1.4课题的来源及主要研究内容

第2章 p为特殊值时丢番图方程x3±p3=Dy2解的讨论

2.1预备知识

2.1.1定义及定理

2.1.2符号意义

2.2当p=3时，对丢番图方程x3±33=Dy2解的讨论

2.3当p=5时，对丢番图方程x3±53=Dy2解的讨论

2.4本章小结

第3章p为任意素数时丢番图方程x3±p3=Dy2解的讨论

3.1引言

3.2丢番图方程x3±p3=Dy2解的讨论

3.3本章小结

结论

参考文献

攻读学位期间发表的学术论文

致谢