微分方程参数反演问题的同伦—多尺度方法

摘要

微分方程反演问题由于其非线性性和不适定性给求解带来很大的困难，而同伦反演方法是求解非线性算子方程的一种大范围收敛方法。它通过构造一组同伦映射，可以克服牛顿迭代法收敛解严重依赖于初始近似解选择的不足。该方法已成功应用于许多领域，本文将在同伦方法的基础上展开进一步研究。由于同伦方法中同时含有同伦参数和正则参数，正则参数根据偏差原则选取，而同伦参数通常采用等距划分的形式进行选取。若分划过细，则将在一定程度上增加计算量，尤其对于大型矩阵而言这样的时间浪费就显得更为严重。而若步长平均分划过大，又会造成误差增大。因此本文对同伦参数的选取进行了自适应方法的研究，并在一类椭圆参数识别问题上进行了数值模拟。
　　其次，小波分析是近年来国际上公认的前沿研究领域，它既包含有丰富的数学理论，又是工程应用中强有力的方法和工具，给许多相关领域带来了崭新的思想。
　　因此本文将同伦方法和小波多尺度理论引入反演过程中，将二者结合起来形成同伦-多尺度方法。在同伦方法的每一步迭代中，利用小波基函数将反演参数及方程在小波空间中展开，从而将物理空间中的参数反演问题转化为小波空间中的系数求解问题。由此，我们充分利用了小波空间基函数的正交性及小波快速重构的特点。其求解过程表明该方法不仅减少了计算量和掉入局部极小值的机会，而且克服了反问题本身的非线性性和不适定性，在计算效率的提高上显出明显的优势，具有一定的理论意义和较为广泛的实用价值。
　　本方法在椭圆型方程参数反演问题上进行了应用，进行了大量的数值模拟，结果表明了本文所给的方法的有效性。

目录

微分方程参数反演问题的同伦-多尺度方法

A Homotopy-Multiscale Method for the Parameter Inversion Problems of Differential Equation

摘 要

Abstract

目 录

第 1 章 绪论

1.1 非线性反问题的一般形式

1.2 非线性反问题的常用数值解法

1.3 本文的主要工作

第 2 章 预备知识

2.1 同伦方法

2.2 小波分析的基本理论

2.3 本章小结

第 3 章 同伦参数的自适应选取

3.1 同伦反演方法的形式及迭代格式

3.2 同伦参数的自适应选取

3.3 数值模拟：一个椭圆型方程参数反演问题

3.4 本章小结

第 4 章 参数识别的同伦-多尺度方法

4.1 引言

4.2 同伦多尺度反演方法的基本思想

4.3 同伦多尺度反演方法的算法描述

4.4 选取一组空间基函数离散模型

4.5 数值模拟

4.6 本章小结

结 论

参考文献

攻读硕士学位期间发表的学术论文

哈尔滨工业大学硕士学位论文原创性声明

哈尔滨工业大学硕士学位论文使用授权书

致 谢

个人简历