一类延迟微分方程Rosenbrock方法的数值Hopf分支

摘要

延迟微分方程在自然科学、社会科学以及工程等各个领域发挥着重要作用，对其进行理论研究及数值分析都很重要。该学科是应用数学领域中令人感兴趣的方向，特别是如具有时滞的Van der Pol方程、捕食-食饵系统及Chemostat模型等实际模型的Hopf分支受到了人们的关注。但是很多延迟微分方程不能显式求解，因此在研究延迟微分方程时，数值计算成为一种重要的方法。在数值计算的研究方面，比较关注的是相应的数值离散系统能否保持原系统的动力学性质。
　　本文主要研究了延迟微分系统平衡点的稳定性及Hopf分支，重点研究了将Rosenbrock方法应用到原系统得到的的数值离散系统的相关性质，其中包括Hopf分支的分支参数值、分支方向及分支周期解的稳定性的确定等内容。
　　简要介绍了Rosenbrock方法的稳定函数及特征方程。研究一类d维含参数的延迟微分系统，应用p阶Rosenbrock方法将系统离散化，产生相应的数值离散系统，证明原系统如果存在Hopf分支，则相应的数值离散系统也存在数值Hopf分支。
　　证明了应用p阶Rosenbrock方法得到的数值离散系统，在一定条件下与原系统的Hopf分支方向及不变曲线的稳定性是相同的。
　　对具有时滞的Van der Pol方程、捕食-食饵系统及Chemostat模型进行简要介绍，给出解析Hopf分支的存在性，并对三类模型用不同的2级Rosenbrock方法进行数值模拟，用以支持理论分析的结论。

目录

一类延迟微分方程Rosenbrock方法的数值Hopf分支

NUMERICAL HOPF BIFURCATION OF ROSENBROCK METHODS FOR A CLASS OF DELAY DIFFERENTIAL EQUATIONS

摘要

Abstract

第1章 绪论

1.1 课题背景及国内外研究现状

1.2 本文的主要工作

第2章 Rosenbrock方法及其对延迟微分系统Hopf分支点的数值逼近

2.1 Rosenbrock方法简介

2.2 Rosenbrock方法的稳定函数与特征方程

2.3 延迟微分系统Hopf分支点的数值逼近

2.4 本章小结

第3章 Rosenbrock方法数值Hopf分支的方向和不变曲线的稳定性

3.1 离散动力系统的基本理论

3.2 数值Hopf分支的分支方向和不变曲线的稳定性

3.3 本章小结

第4章 数值模拟

4.1 几类Rosenbrock方法

4.2 一类具时滞的Van der Pol方程

4.3 Lotka-Volterra捕食-食饵系统

4.4 Chemostat模型

4.5 本章小结

结论

参考文献

攻读硕士学位期间发表的论文及其他成果

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致谢