延迟微分方程多导数线性多步法的数值稳定性

摘要

延迟微分方程广泛出现于生态学，生物学，医学及物理学等科学领域，此类方程在工程学以及自然科学的各种问题建模中起重要作用。随着人们对延迟微分方程认识的不断深入和系统中问题的逐渐复杂化，出现了比例微分方程和延迟积分微分方程，这两类方程的应用十分广泛，许多问题都可以用其对应的比例微分方程和延迟积分微分方程来获得数学模型。由于这两类方程的解析解难以获得，故引起了研究者们对其进行数值分析及计算的兴趣，从数值角度来说，数值方法是否能保持原方程解的稳定性是很重要的。
　　高阶导数方法是一种传统的数值方法，其广泛应用于常微分方程的数值解法中，阿当姆斯二阶导数方法是一种高阶导数方法，本文将其应用于求解比例微分方程以及延迟积分微分方程，为这两类方程提供一种新的数值求解方法。
　　本文首先介绍了比例微分方程和延迟积分微分方程的研究背景及国内外的研究现状，然后主要研究了求解这两类方程的阿当姆斯二阶导数方法的数值稳定性：其一，研究求解比例微分方程的阿当姆斯二阶导数方法的数值稳定性，用阿当姆斯二阶导数方法D对变换后的比例微分方程进行数值求解，得出数值格式，对数值格式中的系数矩阵进行分析，得出相应数值稳定的结论。其二，用阿当姆斯二步二阶导数方法求解延迟积分微分方程，得出数值格式，通过对数值格式的特征方程根的分布情况的讨论，得出其渐近稳定的充要条件。最后结合数值算例加以验证。

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第1章 绪 论

1.1 课题来源及研究的背景和意义

1.2 国内外在该方向上的研究现状

1.2.1 比例微分方程的研究现状

1.2.2 延迟积分微分方程的研究现状

1.3 本文的主要研究内容

第2章 比例微分方程SDAM二阶导数法的稳定性

2.1 引言

2.2 方程的稳定性

2.3 方法的稳定性分析

2.4 数值算例

2.5 本章小结

第3章 延迟积分微分方程SDAM二阶导数法的稳定性

3.1 引言

3.2 方程的稳定性

3.3 方法的稳定性分析

3.4 数值算例

3.5 本章小结

结论

参考文献

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