阻力对完全非弹性蹦球运动轨道稳定性的影响

摘要

蹦球指在竖直简谐振动台面上蹦跳的球，是一种最简单的非线性动力学系统，球与台面之间的碰撞恢复系数e决定了蹦球的运动性质。本文考虑一种极端情况，球与台面间碰撞恢复系数为0，二者进行完全非弹性碰撞。随着台面振动强度的增大，完全非弹性蹦球每一跳的飞行时间和相对台面的着陆速度会依次经历一系列倍周期分岔过程。在2n阶分岔点之前，存在一个“平台”区，平台区内蹦球进行稳定n倍周期运动；当n?1时，2n阶分岔点之后存在蹦跳密集区。在密集区内蹦球的运动非常复杂，存在大量倍周期分岔现象且分岔点非常密集，蹦球运动敏感地依赖于振动强度的变化，分岔相图中还存在着自相似结构。
　　本文研究了完全非弹性蹦球密集区起点处和终点处的运动状况，发现在密集区的尾部有一段很短的区域，在这段区域内蹦球运动的周期由若干次跳跃组成，永远不会落入吸收区，但具有明显的周期性；在第二个密集区中间部位有一段仅由两次跳跃便落入吸收区的区间，这段区间之前的密集区部分也是永不落入吸收区的周期性运动。在完全非弹性蹦球中分别引入大小恒定的力和大小随蹦球相对振台速度变化的粘滞阻力，发现在这两种性质的阻力作用下，密集区尾部仍可观察到永不落入吸收区的稳定倍周期运动。
　　将蹦球每一跳的飞行时间看做一维映射，引入Lyapunov指数，根据Lyapunov指数的正负判断蹦球的运动是否混沌，发现在不考虑阻力时蹦球运动不会出现混沌。加入大小恒定的阻力之后，蹦球的运动仍始终是倍周期的；在此基础上，加入一个与蹦球和振台的相对速度方向相反、大小成正比的粘滞阻力，蹦球的运动会出现混沌，且粘滞阻力系数越大，混沌出现时对应的振台振动强度越小。当粘滞阻力系数足够大时，第一密集区与第二个平台出现交叠，导致蹦球在第一密集区后面部分的运动就已经是混沌的，不再出现稳定的周期运动；某些特定粘滞阻力系数条件下，混沌运动中存在周期窗口，周期窗口中可观察到明显的倍周期分岔现象。

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第1章 绪论

1.1 课题背景及研究的目的和意义

1.2 蹦球问题的提出和发展

1.3 完全非弹性蹦球及其相关问题研究现状

1.3.1 完全非弹性蹦球的倍周期运动

1.3.2 受振颗粒的倍周期运动

1.4 本文研究目标和内容

第2章 完全非弹性蹦球的运动与轨道稳定性

2.1 引言

2.2 完全非弹性蹦球的动力学方程

2.3 蹦球在密集区内运动形式

2.4 完全非弹性蹦球运动的轨道稳定性

2.5 本章小结

第3章 恒值阻力与粘滞阻力对蹦球运动的影响

3.1 引言

3.2 恒值阻力对完全非弹性蹦球运动的影响

3.2.1 完全非弹性蹦球在恒值阻力作用下的动力学方程

3.2.2 恒值阻力作用下蹦球运动的轨道稳定性

3.3 粘滞阻力作用对蹦球动力学行为的影响

3.4 本章小结

第4章 阻力对完全非弹性蹦球混沌运动的影响

4.1 引言

4.2 粘滞阻力与恒值阻力共同作用下蹦球的动力学方程

4.3 轨道稳定性判断

4.4 阻力系数变化的影响

4.5 本章小结

结论与展望

参考文献

攻读硕士学位期间发表的论文及其它成果

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