一类拟线性分数阶对流扩散方程的谱方法研究

摘要

分数阶偏微分方程在近三十年来得到了很高的重视，它们可以用来描述一些不同于布朗运动的反常现象。拟线性分数阶对流扩散方程描述了一些多孔扩散、具黏性对流以及固液、固气、气液混合流体的扩散现象。本文主要基于新的一类时空谱Galerkin方法求解一类拟线性分数阶对流扩散方程问题。全文一共分为四章。
　　第一章介绍了分数阶微积分的由来、分数阶偏微分方程的发展历史、国内外研究现状以及本文主要内容。
　　第二章建立了一类分数阶拟线性对流扩散方程解的存在唯一性。首先引入了分数阶Sobolev空间概念及相应范数，其次为了便于计算引入一些引理，最后利用Galerkin方法证明了方程的解存在且唯一。
　　第三章给出了时空谱Galerkin方法的收敛性，以及数值格式的构造及运算。首先针对给定右端项的函数进行半离散误差分析，然后针对特殊的右端项进行全离散误差分析。利用了空间内插技术可以将整数阶的误差估计推广到分数阶的误差估计，从而得到了基于时空谱Galerkin方法求解此问题的误差估计。基于误差分析理论的支撑，本文给出一种构造谱空间的基本形式，并通过多项式的正交性来构造方程变分格式，得到了方程的解。
　　第四章通过数值算例验证了本文所构造的时空谱Galerkin方法的指数收敛性。基于时空谱Galerkin方法的收敛性与方程解的正则性理论，本章分别通过给出无穷光滑的解和有一定正则性的解，验证了本文所提出的谱Galerkin方法的收敛指数。

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第1章 绪论

1.1．课题来源

1.2．课题研究的背景和意义

1.3．国内外研究现状及分析

1.3.1．国内外研究现状

1.3.2．国内外文献综述的简析

1.4．本文主要研究内容

第2章 解的存在唯一性

2.1．预备知识

2.2．变分格式

2.2.1．Galerkin逼近

2.2.2．能量逼近

2.2.3．解的存在唯一性

2.3．本章小结

第3章 时空谱Galerkin方法

3.1．误差估计

3.1.1．半离散格式的误差估计

3.1.2．全离散格式的误差估计

3.2．主要算法

3.3．本章小结

第4章 数值算例

4.1．数值算例一

4.2．数值算例二

结论

参考文献

攻读硕士学位期间发表的论文及其它成果

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致谢