基于B样条小波的反演方法及地下水污染源识别应用研究

摘要

近年来，我国很多城市和地区的地下水受到污染，并且污染程度不断增加。地下水占人类饮用水的三分之一，地下水污染造成供水紧张，已经严重影响了人们的生活。解决有关地下水治理的问题已迫在眉睫。治理地下水的前提是查清污染源。污染物在地下水中运动的控制方程是扩散方程或对流-扩散反应方程。因此，一些学者在数学模型研究的基础上，用应用数学的方法反演污染源。
　　目前关于地下水污染源参数识别的方法有很多，大致可以分为迭代法和直接法两类。直接法是建立在无网格基础上的，具有较高的计算效率和精度。直接法中研究比较成熟的是径向基配点法，但对于地下水污染源反演问题，其所得数值解较解析解误差较大。考虑到小波理论具有的局部紧支撑等良好特性，本文基于三次B样条小波尺度函数，借鉴径向基配点法处理反问题的思路，提出了处理偏微分方程初、边值反演的B样条小波方法，并将之应用于地下水污染数学模型的源项反演研究，得到了较好的研究结果。
　　本文首先介绍B样条小波的性质及特点，给出小波多分辨率分析的构造方法，构造B样条小波尺度函数，将方程离散化。其次，用B样条小波方法反演空间域上的Laplace方程的未知边界条件，将此反问题转变为一个大规模的代数方程组求解的不适定问题，并采用最小二乘方法求解。然后，引入时间域，在假定时间域和空间域相互独立的条件下，采用B样条小波方法求解时空域上一维扩散方程反问题。最后，考虑了增加对流项的一维对流-扩散反应方程反问题的求解。通过对算法的数值结果的比较和分析，可以得出：当待反演函数光滑时，B样条小波方法可以有效地处理Laplace方程反问题、一维扩散方程反问题和一维对流-扩散反应方程反问题。相比径向基配点法和改进的径向基配点法，B样条小波方法得到的数值解精度更高。

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第1章 绪 论

1.1 课题背景及研究的目的

1.2 国内外研究现状

1.3 本文主要研究内容

第2章 理论基础

2.1 引言

2.2 小波的多分辨率分析

2.3 B样条函数

2.4 三次B样条小波尺度函数的构造

2.5 尺度函数逼近

2.6 本章小结

第3章 B样条小波方法求解Laplace方程反问题

3.1 引言

3.2 未知狄利克雷边界条件下的反演

3.3 超定条件下未知边界的反演

3.4 本章小结

第4章 B样条小波方法求解一维扩散方程反问题

4.1 引言

4.2 扩散方程初始条件反演

4.3 扩散方程边界条件反演

4.4 本章小结

第5章 一维地下水污染源排放历史反演

5.1 引言

5.2 一维常系数对流-扩散反应方程

5.3 一维变系数对流-扩散反应方程

5.4 本章小结

结论

参考文献

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致谢