应用再生核方法解具有Abel核的奇异积分方程(组)

摘要

具有奇异性的积分方程和方程组在很多领域中有着应用,例如:气体动力学,断裂力学,固体力学等。由于它们应用的广泛性,使许多学者对这类方程(组)的求解产生了浓厚的兴趣。但是,由于方程本身的奇异性问题,一般的求解方法得不到较好的近似解。因此,能够对这类方程(组)给出一种有效的数值求解方法具有一定的实际意义。
　　 本文给出了具有Abel核的奇异积分方程(组)的一种新的数值求解方法。该方法以再生核理论为基础,利用再生核函数的再生性,在确定的再生核空间中给出了奇异积分方程(组)的精确解和近似解。
　　 本文首先对再生核空间以及再生核函数的基本理论做了简单介绍。再生核空间中的内积定义决定了再生核函数的具体表现形式。文中所用到的再生核函数是以分段多项式形式给出的,这种形式的再生核函数大大简化了计算过程。文中对所求解的算子方程的算子要求进行了改进,利用空间中再生核函数的性质,直接构造了原像空间中的一组完全系,进而以级数的形式给出了奇异积分方程的精确解。最后通过截断级数得到近似解。
　　 本文运用类似的方法对方程组进行了讨论。首先根据方程组的形式,利用直和的性质及向量的形式构造了新的内积空间。其次,将向量概念进行推广,获得了原像空间的一组完全系,并通过相应的施密特正交化过程,得到了原像空间中的一组完全正交系,进而获得了方程组的精确解及近似解。
　　 本文所给方法克服了奇异性质,获得较好的结果。最后数值算例验证了方法的可行性和有效性。通过与以往文献的比较,再生核方法求解奇异积分方程(组)具有较高的精度和计算速度。