Fredholm积分方程在非线性可积模型中的应用

摘要

本论文主要包含两个部分:第一部分，利用Fredholm积分方程给出非线性可积演化方程初边值问题的一种解法;第二部分，利用Fredholm积分方程和Darboux变换等方法给出一些非线性可积演化方程的精确解.
　　非线性可积演化方程初边值问题的求解是重要的，但是却极为困难.所以，研究该问题的方法通常是将其转化为等价的已知问题，例如Riemann-Hilbert问题.这样做的优势是一旦另外一个问题解决了（不管是以精确解的方式解决的、还是以数值计算等方式给出了逼近解），相应的初边值问题也就解决了.考虑到矩阵Riemann-Hilbert问题并没有十分完善的解决方法，所以我们研究的重点是将相应待解决的问题转化为Fredholm积分方程.与Riemann-Hilbert问题相比，Fredholm积分方程在数值解等方面的相关研究则更加完善.
　　在第二章至第四章，以Fredholm积分方程作为工具，我们分别研究了非线性Schr(o)dinger方程在有限区间上的初边值问题、修正Korteweg-de Vries方程在半直线上的初边值问题以及矩阵非线性Schr(o)dinger方程在半直线上的初边值问题.从初边值条件到Fredholm积分方程的构造过程分为几步.
　　第一步，应用反散射变换和Fokas统一变换，确定所需的散射数据、跳跃矩阵和留数条件.在反散射变换中，散射数据包含连续数据和离散数据两部分.在Fokas统一变换法中，连续数据则对应着跳跃矩阵，而离散数据则对应着留数条件.我们发现，对于初边值问题来说，离散数据和连续数据并不是相互独立的.这种不同源于反散射变换法中的连续散射数据（以非线性Schr(o)dinger方程为例）只在实轴上有定义，但是Fokas统一变换法中的跳跃矩阵却可以延拓到整个上半平面或下半平面.
　　第二步，利用Fredholm方程将散射数据和特征函数的关系表示出来.我们发现特征函数的分量之间有些是由可逆Volterra算子相联系的.于是我们利用Volterra算子的逆消去了部分谱函数，最后得到了一个Fredholm积分方程，该积分方程中未知函数的个数与位势的分量个数恰好相等.当所研究的是标量的非线性Schr(o)dinger方程时，所得到的Fredholm积分方程是复标量的Fredholm积分方程;当所研究的是修正Korteweg-de Vries方程时，所得到的Fredholm积分方程是实标量的Fredholm积分方程;当研究的是矩阵非线性Schr(o)dinger方程或者矩阵修正Korteweg-de Vries方程时，所得到的Fredholm积分方程则是相应复的或实的矩阵Fredholm积分方程.另外，利用Fredholm积分方程的相关理论，我们证明了相关的Fredholm积分方程是唯一可解的.Fredholm积分方程（尤其是当涉及到反常积分时）的可解性是有条件的，所以证明其唯一可解性是至关重要的.
　　第三步，我们确定初边值的相容性条件，以便给出散射数据随时间的演化关系.在反散射变换中没有边值条件，因此也就不存在初边值的相容性.在Fokas统一变换中，初边值的相容性所对应的是整体关系.它的存在是因为Lax对中所要求的边值条件比初边值问题的定解条件要多，所以对于给定的初边值条件我们需要判断相应的解是否存在.Fokas变换法中的整体关系仅给出了初边值问题有解的一个必要条件，而本文中我们给出了一个有效的估计式，然后找到了初边值问题有解的充分必要条件.
　　在第五章，我们构造可分离核的Fredholm积分方程，然后给出了矩阵非线性Schr(o)dinger方程和矩阵修正Korteweg-de Vries方程的一些精确解.这些结果是对之前得到的Fredholm积分方程的扩展和应用.此外，在第六章，我们首先构造了两分量Drinfeld-Sokolov-Satsuma-Hirota方程的Darboux变换，由此得到许多精确解;然后利用行波法推导了广义Harry Dym方程的精确解.

目录

声明

摘要

第一章 引言

§1．1 研究背景

§1．2 本文要提出的新方法

§1．3 本文的新方法的主要应用

§1．4 Darboux变换、新可积方程的推导

§1．5 紧算子和Fredholm积分方程

§1．5．1 紧算子

§1．5．2 Fredholm积分方程

第二章 有限区间上的非线性Schr?dinger方程

§2．1 谱函数和位势重构

§2．1．1 对称性

§2．1．2 Gel’fand-Levitan-Marchenko表示

§2．1．3 位势的重构公式

§2．2 谱函数的结构、演化和初边值的相容性

§2．2．1 谱函数的结构和演化

§2．2．2 初边值的相容性

§2．3 求解方法

第三章 半直线上的修正Korteweg-de Vries方程

§3．1 四个非线性变换的构造

§3．1．1 变换Q

§3．1．2 变换M

§3．1．3 变换S

§3．1．4 变换P

§3．2 谱函数的结构、演化和初边值的相容性

§3．2．1 谱函数的结构和演化

§3．2．2 初边值的相容性

§3．3 求解方法

第四章 一类矩阵非线性可积演化方程的初边值问题

§4．1 Lax矩阵、特征函数和谱函数

§4．1．1 Gel’fand-Levitan-Marchenko表示

§4．1．2 位势的重构公式

§4．2 谱函数的结构和演化

§4．3 求解方法及解的约化

§4．3．1 初边值的相容性求解方法

§4．3．2 解的约化

第五章 一类矩阵非线性Schr?dinger方程的精确解

§5．1 Fredholm积分方程

§5．2 可分离核和显式解

§5．3 精确解

§5．4 在矩阵修正Korteweg-de Vries方程中的应用

第六章 Darboux变换及新方程的推导

§6．1 DSSH方程的Darboux变换

§6．2 一个广义Harry Dym方程

总结

参考文献

攻读博士期间的研究成果

致谢