有限域上素多项式的一些概率问题

摘要

随机的想法与技巧已经渗透到科学的各个角落，譬如可积系统、随机几何、群上随机游动、统计物理、随机算法、生命科学等等；另一方面，有限域上的多项式理论对于研究有限域的代数结构非常重要，其应用也相当广泛，譬如信息安全与编码理论等.本文主要将随机的想法应用于有限域上多项式环，研究有关素多项式的一些概率问题. 第二章主要讨论多项式环上q-zeta函数及相关随机问题.用概率方法证明了类似于Riemann (-函数的Euller公式；应用q-zeta函数，得到了两个多项式互素的概率估计；研究多项式因子分解定理的统计性质，给出了因子个数的几何分布特点. 第三章主要研究多项式环上多项式素因子个数的统计性质. 数论中著名的Erd?s-Kac定 理 （1940)表明，随 机 取 一 个 自 然 数 w(n)∈{1，2 ,...,n}，其素因子的个数是渐近正态的，且阶为√lglogn . Mehrdad & Zhu (2016)进一步研究了素因子个数的精细行为，得到了大偏差和中偏差原理. 自然的，可考虑多项式环上的类似问题. Liu (2004)证明了多项式环上的Erdfe-Kac定理. 在上述基础之上，我们证明了有限域上多项式素因子个数满足大偏差原理，从而将Mehrdad & Zhu (2016)的结果推广到了多项式环上.

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