具有张力性质三次参数样条的可加细性质研究

摘要

样条与可加细函数被广泛地应用于微分方程数值解、计算机辅助几何设计(CAGD)及小波分析等领域。20世纪80-90年代以来，随着小波分析理论的日趋成熟和广泛应用，构造小波过程中的多尺度思想和多尺度方程使得人们注意并发现了B样条的又一个本质特性——可加细性质，从而产生了曲线与曲面的细分表示。由具有可加细性质的参数样条细分得到的曲线、曲面是细分曲线、曲面族中重要的成员，有助于解决当前NURBS方法在实际应用中遇到的诸如权因子的选择与参数化等问题。 近年来，国内外学者构造了多种带有形状参数的B样条的扩展模型。人们一方面在调配函数中引入参数，另一方面在基于分段思想中引入形状参数，通过改变参数的值来调节曲线的形状。然而，这些模型都普遍缺少可加细性质，不能实现曲线、曲面的离散生成。 2004年，C.Manni等构造了一类具有张力性质的三次参数样条(经典的C2三次B样条是它的特例)，并进一步研究了此类样条的可加细性质，给出了其在均匀节点情况下的2-尺度加细方程。这为带形状参数样条函数的构造和可加细性质的研究提供了新的思想和方法。 本文在前人研究成果的基础上，深入讨论了具有张力性质的三次参数样条的可加细性质，重点研究了不均匀节点下3-尺度加细方程，并进一步推广到M-尺度加细方程(2≤M≤5，M∈N)。本文的研究成果主要包括以下三个方面： 1、讨论了具有张力性质三次参数样条在不均匀节点下的2-尺度加细过程，包括张力参数的计算，选取不同节点时加细矩阵的计算等。并对计算结果进行了分析，进一步给出了2-尺度细分规则。本文的研究结果包含了C.Manni的结果(均匀节点序列2-尺度加细情况)。 2、研究了具有张力性质三次参数样条的3-尺度加细过程，给出了加细层张力参数和加细矩阵的显式表达结果，并总结得到了便于直接应用的3-尺度细分规则。与2-尺度细分相比，3-尺度细分曲线在逼近速度方面更具优势。 3、进一步将研究结果拓广到M-尺度加细，给出了5-尺度加细矩阵的显式表达结果。

目录

文摘

英文文摘

声明

1绪论

1.1 CAGD中的参数曲线曲面发展

1.2可加细函数及其应用

1.3本文结构安排

2具有张力性质的三次参数样条

2.1具有张力性质的三次参数样条的构造过程

2.2三次参数样条的张力性质

3具有张力性质三次参数样条的2-尺度加细

3.1 加细层张力参数的求解过程

3.2选取不同节点时加细矩阵的计算

4具有张力性质三次参数样条的3-尺度加细

5具有张力性质三次参数样条的M-尺度加细

6结论和展望

参考文献

致谢

攻读硕士学位期间参与的项目及取得的科研成果