Clifford分析中全纯函数及相关算子的性质

摘要

Clifford分析是函数理论的主要分支之一,它研究的是定义于实的(或复的)高维欧几里得空间,取值于乘法不可交换的Clifford代数的函数的各种分析性质、泛函性质、算子理论及各种边值问题.它是经典的单元复分析、四元数分析和多元复分析在高维空间的自然推广. 在Clifford分析中,最热点的问题之一是研究在欧氏度量和非欧度量下的各种全纯函数的性质以及与全纯函数相关的各种积分算子的性质.单元复分析与多元复分析的主要研究对象是全纯函数,而全纯函数在Clifford分析中的对应函数我们称之为正则函数. 众所周知, Cauchy积分公式在经典的单元复分析与多元复分析中都起着举足轻重的作用,它是全纯函数的积分表示式,它用函数边界值表示其在区域内部的取值,是研究全纯函数的各种性质的重要工具,有重要的理论意义和应用价值.当然, Cauchy积分公式在Clifford分析中也起着至关重要的作用,它是我们研究正则函数性质的有力工具,并且它为我们提供了各种各样的积分算子,而这些积分算子的良好性质在求解偏微分方程时起着非常关键的作用. 目前,复Clifford分析中的正则函数及其相关的算子的理论研究尚少.正是在这样的背景下,本论文给出了复Clifford分析中的右正则函数的Cauchy积分公式以及相关算子的一些泛函性质,为求解复的偏微分方程建立了理论基础. 另外,实Clifford分析中欧氏度量下的正则函数及其相关函数理论的研究成果已经非常丰富,而非欧度量下的全纯函数,即超正则函数、双超正则函数的研究还处于相对活跃的时期.本论文给出了具有双超正则核的几个积分算子的一系列性质. 本论文分为三部分:第一部分是文章的绪论,主要列出了实、复Clifford分析的研究背景、研究现状和本文得到的主要结果. 第二部分包括前两章,主要研究了复Clifford分析中复右正则函数的Cauchy积分公式、复Clifford分析中具有B-M核的T算子的一系列性质. 第一章:得到了复Clifford分析中的Stokes公式,巧妙地构造了一种包含不可交换的Clifford代数的基元素和复坐标的复微分形式,利用这种微分形式构造了复Clifford分析中Cauchy积分核.利用复Clifford分析中的Stokes公式和多复变函数论中的Stokes公式,先得到了复Clifford分析中的Cauchy- Pompieu公式,继而得到了复Clifford分析中复右正则函数的Cauchy积分公式. 第二章:定义了复Clifford分析中的具有B-M核的T算子并得到了该算子在Lp空间上的有界性,随后证明了一个类似于Hile引理的估值不等式,利用此不等式、H¨older不等式以及Hadamard引理证明了具有Bochner-Martinelli核的T算子所作用的结果具有H¨older连续性,最后得到了具有B-M核的T算子具有γ次可积性. 第三部分包括第三章和第四章,主要研究了实Clifford分析中具有双超正则核的积分算子在有界区域内部以及积分区域的各种边界上的性质. 第三章:在实Clifford分析中定义了具有双超正则核的T算子,随后给出了该算子在Lp空间上的有界性、H¨older连续性以及具有双超正则核的T算子具有γ次可积性. T算子的这些性质在求解微分方程时都会起到重要的作用. 第四章:在实Clifford分析中定义了几个具有双超正则核的奇异积分算子,然后给出了Cauchy型奇异积分在区域的内部、区域的非特征边界上以及特征边界上的H¨older连续性,并证明了具有双超正则核的Cauchy型积分也满足Privalov定理.

目录

声明

绪论

0.3 论文的主要结果

第一章 复Clifford分析中具有B-M核的Cauchy积分公式

1.2 预备知识及相关定义

1.3 复Clifford分析中的Stokes公式

1.4 复Clifford分析中的Cauchy-Pompeiu公式

1.5 复Clifford分析中复右正则函数的Cauchy积分公式

第二章 复Clifford分析中具有B-M核的T算子的性质

2.3 复Clifford分析中具有B-M核的T算子的性质

第三章 实Clifford分析中具有双超正则核的T算子的性质

3.2 预备知识及相关定义

3.3 具有双超正则核的T算子的性质

第四章 实Clifford分析中具有双超正则核的Cauchy型积分算子的性质

4.2 预备知识及相关定义

4.3 具有双超正则核的Cauchy型积分算子的性质

结论

参考文献

致谢

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