反向混合单调算子和积分算子不动点定理及应用

摘要

微分方程是数学领域一门重要学科,是人们生产实践中必不可少的工具。混合单调算子理论作为微分方程非线性理论中一个活跃领域,对研究非线性微分方程极其重要。事实证明深入研究混合单调算子理论意义重大,混合单调算子理论已经在很大程度上应用于航空航天科技、生化科学、工程技术、经济学、生态学等诸多领域中。自1987年,郭大均教授和V.Lakshmikantham教授提出混合单调算子的概念并开始了最初的研究后,混合单调算子理论引起许多专家学者的兴趣,并得到了许多好的结果。然而,令人遗憾的是,对反向混合单调算子理论的研究还处于初级阶段,因此讨论此类问题非常必要。
　　 微分方程的研究对现代科学技术的发展和生产实践作用重大,微分方程的非局部问题可以描述大量物理、生物、化学、工程问题,而对这一类问题尤其是正解的研究一直倍受人们关注。
　　 本文就是在此基础上讨论了反向混合单调算子组解的存在性及唯一性问题以及非线性二阶微分方程两点边值问题,全文共分为四部分:
　　 首先,主要介绍混合单调算子理论和二阶微分方程边值问题的研究目的和意义,国内外对混合单调算子和二阶微分方程边值问题的研究现状以及本文研究的主要内容,包括本文所需的概念和定理。
　　 其次,我们利用锥与半序理论和单调迭代技巧,在非紧非连续性假设条件下,得到一类反向混合单调算子方程组解的存在唯一性定理。
　　 再次,我们利用锥与半序理论和单调迭代技巧,在非紧非连续性假设条件下,得到一类α-t型凹凸反向混合单调算子方程组解的存在唯一性定理。
　　 最后,我们利用不动点指数理论得到了若干个积分算子的不动点定理,这些结论可用于研究许多边值问题。我们利用这些我们推到的结论研究了Banach空间中二阶两点边值问题正解的存在性,本章另一个特别之处是,我们在有些情况下去掉了Banach空间中锥必须是正规的这一限制条件,而这一条件在许多文献中是必须的。