四阶微分算子特征值问题的C0IPG高效算法

摘要

C0内部惩罚Galerkin(C0IPG)方法是最近十年才发展起来的Galerkin方法的一个新类.该方法融合了连续Glerkin方法,不连续Glerkin方法和稳定性技巧的思想.对于四阶微分算子,它是一种不连的续Galerkin方法.与传统的有限元相比较,C0IPG方法采用Lagrange基函数,因而基函数容易构造,并且高阶Lagrange基函数能够高效地捕获光滑解,而且不破坏原问题的正定性.而四阶特征值问题,尤其是重调和特征值问题和Helmhotz传输特征值问题,一直都是众多学者关注的问题.因此,用C0IPG方法计算四阶微分算子特征值问题是有实际价值的. 本学位论文主要研究用C0IPG方法计算重调和特征值问题和传输特征值问题,并取得如下结果. 首先,基于[17]中重调和方程的C0IPG方法的后验误差指示子,进一步给出了重调和特征值问题和传输特征值问题的C0IPG特征函数和特征值的后验误差指示子,并证明了特征函数后验误差指示子的有效性和可靠性以及特征值后验误差指示子的可靠性.由这些误差指示子,给出了基于C0IPG方法的自适应算法,进而通过数值实验验证了我们的理论. 其次,将C0IPG方法的相关理论与二网格方法的相关理论相结合,给出了C0IPG方法的二网格离散方案,使得在细网格上求解一个特征值问题归结为在较粗的网格上求解一个特征值问题和在细网格上求解一个线性代数方程组.然后进一步讨论了自适应模式下基于Rayleigh商迭代的C0IPG多网格离散方案,使得在一系列在越来越细的网格上求解一个特征值问题归结为在较粗的网格上求解一个特征值问题和在越来越细的网格上求解一系列线性代数方程组.在数值实验中分别用二次和三次C0IPG方法验证了方案的高效性. 最后,用著名的非协调元Morley元去求解重调和特征值问题.基于[46,65]中重调和方程的Morley元后验误差指示子,进一步讨论了重调和特征值问题的Morley元后验误差指示子,并建立了自适应模式下基于Rayleigh商迭代,带有固定位移反迭代的多网格离散方案.在数值实验中呈现了二维和三维情形下中的算例,从而这些方案都是高效的.

目录

第一章 前言

1.2 本文工作

第二章 预备知识

2.2 (2.1)的边值问题及算子形式

2.3 基本关系式

2.4 符号说明

第三章 重调和特征值问题的C0IPG自适应算法

3.1 后验误差估计

3.2 自适应算法

3.3 数值实验

3.4 本章小结

第四章 Helmholtz传输特征值问题的C0IPG自适应算法

4.1 C0IPG离散方案

4.2 对于边值问题(4.7)的C0IPG离散方案

4.2.1 可靠性分析

4.2.2 有效性分析

4.3 特征值问题(4.5)的后验误差分析

4.4 自适应算法和数值实验

4.5 本章小结

第五章 重调和特征值问题的C0IPG二网格和多网格离散方案

5.1 二网格离散方案

5.2 多网格离散方案

5.3 数值实验

5.4 本章小结

第六章 重调和特征值问题的Morley元自适应算法

6.1 Morley元下的离散形式

6.2 基于多网格离散的移位反迭代法

6.3 理论分析

6.4 自适应算法

6.5 数值实验

6.6 本章小结

第七章 总结与展望

参考文献

致谢

攻读博士学位期间科研和论文情况

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