量子计算中密度算子的基础理论及性质研究

摘要

密度算子是量子计算中的一个重要概念，它不但可以描述纯态量子系统，还可以描述混合态量子系统。并且，在密度算子基础上引伸出的约化密度算子量既可以刻画状态未知的量子系统，也可以刻画复合量子系统中的子系统的量子状态。进一步讲，密度算子和约化密度算子作为量子计算中的基础量在量子噪音和量子纠错、系统的测量、量子算法等领域中都有非常广泛的应用。 给定一个复合量子（物理）系统，首先，用密度算子和约化密度算子这两个量来刻画清楚复合系统中的量子状态；其次，基于量子状态的表示形式、密度算子和约化密度算子的性质来分析量子系统中其他物理量的性质；最后，将从量子系统中研究出的物理量性质用于解释现实生活中的现象，使人们生活更便捷。在这个过程中，显然密度算子和约化密度算子起着关键的基础性作用。同时，这也激发了对密度算子和约化密度算子及其性质进行完善的动力，以便对量子（物理）系统的性质进行更加详细、透彻的分析和应用。本文的主要研究结果有： （1）给出了纯态和混合态下密度矩阵奇异值分解形式、幂形式和若尔当标准形。基于密度算子若尔当标准形的表示形式，推出了密度算子不是酉矩阵的条件。同时，证明了在任意双体复合量子比特系统中，其子量子系统的约化密度算子平方取迹后的值小于1。而且还证明了三体量子系统的叠加态具有相干性。除此之外，还对密度算子作为量子态可区分性的数学理论进行了拓展。 （2）找到了任意n体复合量子系统中n-1体量子子系统的约化密度矩阵的表示规律，并且推导出复合量子系统中子系统PA、PB和PA×PB的一些基本性质。基于它们的基本特性，证明了PA、PB和PA×PB的特征值和特征向量之间的关系。最后将约化密度矩阵的性质用于证明复合量子（物理）系统中的纯化性。

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