用元胞自动机模型研究二维激发介质中的非线性波

摘要

激发介质广泛存在于物理系统、化学系统和生物系统中。人们对激发介质的研究已经持续了多年，其应用领域也涉及到医学，表面科学等。在激发介质中存在的各种波形中，以螺旋波的结构最为复杂，波形也最为丰富(如反向螺旋波、多臂螺旋波等)，人们对螺旋波的研究也最为深入。时至今日，激发介质中的非线性波仍然是非线性科学界研究的热点之一。本文以Greenberg and Hasting提出的元胞自动机激发介质模型为基础，对激发介质中的行波、靶波和螺旋波进了具体的研究工作。主要工作如下： 一、数值模拟并分析了行波的波速u与邻域半径R和激发阈值K的关系。结果表明，对于单激发态下的行波，其传播速度随邻域半径增加而增加，随激发阈值增加而减小，三者的具体的关系满足V=R+1-[K/2R+1]。同时，我们分析得出了行波的激发条件，即R+1-[K/2R+1]≥[K/2R+1]。考虑到元胞的激发周期T就是元胞的状态数n，本文分析获得行波波长与波速之间的关系，λ=nu。对于多激发态下的行波，其激发条件就是E{ R+1-[K/2R+1]}≥[K/2R+1].多激发态下的行波激发条件在E=1时就变为单激发态下的行波激发条件。在元胞激发态个数足够多的情况下(E≥R)，多激发态下的行波激发条件就变为[K/2R+1]≤R。显然，多激发态下的激发条件更宽松一些，这是因为元胞的激发态个数增加导致系统的激发性变强；元胞的激发态个数的增加提升了系统的激发能力。 二、数值模拟和讨论了单激发态下靶波的性质。本文先模拟了靶波波速随不应态数、激发阈值及邻域半径的变化。结果表明，靶波的不应态个数不影响波速；激发阈值变大时，波速阶跃式减小。接着我们模拟和分析了靶波波长与波速的关系，所得到的关系与单激发态下的行波波长与波速的关系相同。对于靶波的存在条件，我们分析得出结果：V/R>1/2。当此条件不满足时，靶波就先从曲率较小的地方破碎。计算机数值模拟验证了此结果。 三、对单激发态下螺旋波波头轨迹进行了计算机数值模拟，分别探讨了不应态数、激发阈值对波头轨迹的影响。不应态个数越大，螺旋波的波头运动轨迹就越长；系统的激发阈值越大，波头的运动轨迹越大。 四、以Greenberg-Hasting元胞自动机模型为基础，通过参考 Gil Bub等人的改进的Greenberg-Hαsting元胞自动机模型，并以Felipe等人的模型思想为指导，提出了一种改进的元胞自动机激发介质模型。Felipe等人的模型考虑了激发介质中激发单元对邻域内其他激发单元的作用，并将激发单元自身的激发能力也考虑了进来。采用本文的改进模型，我们借助行波模拟和分析了：(一)系统各参数对系统激发性的影响：1、参数D的影响。在α=0.01，n=10，E=2，R=3，θ=0.5，当D<0.154时，系统无法维持行波的运行；当0.1540.32时，系统的激发性会显著增强，行波能够较为稳定地传播，这时行波不再易断裂。2、元胞状态数n，激发态数E和总位权阈值θ的影响。系统在元胞状态数n，激发态数E 所形成的空间里，随着总位权阈值θ的增加，湍流态的个数不断增加。当θ在1.0附近时，n-E空间的单激发态行波无法存在；当θ达到1.5时，系统无法激发。(二)我们模拟并分析了系统参数对行波运动速度的影响：1、当系统其他参数设定后，当θ较大时，行波波速随θ增大而线性减少；但在θ很小或接近1.21时，行波波速变化较快；2、当D<2.23时D 对波速的影响近似呈现一种三次曲线关系；当D大于2.23时，波速趋于稳定值。3、波速随α增加而非线性地增加。当α<0.1，波速随α增加而急剧增加；当α>0.1，波速变化较小，波速几乎保持为1.336不变。根据前人对螺旋波的控制的研究，本文借助改进的G-H模型也做了类似的尝试，结果表明：当系统的激发性较低时螺旋波会很容易被驱除出去。由此建议，在应用螺旋波的控制方法时最好先降低系统的激发性，这样会使控制变得更有效。