二维变重量光正交码的组合构造

摘要

本文对二维变重量光正交码的组合构造进行了研究。对1989年Salehi提出了一维常重量光正交码(One-Dimensional Constant-Weight Optical Orthogonal Code，1D CWOOC)的概念，它作为一种签名序列被应用于光码分多址(OCDMA)系统.由于一维常重量光正交码不能满足多种服务质量(QoS)需求，Yang于1996年引入了一维变重量光正交码(One-Dimensional Variable-Weight Optical OrthogonalCode，1D VWOOC)用于OCDMA系统.随着社会的高速发展，人们对不同类型信息的需求逐渐提高，这就要求产生高速率、大容量、不同误码率的OCDMA系统。为了给光正交码扩容,Yang于1997年提出了二维常重量光正交码(Two-Dimensional Constant-WeightOptical Orthogonal Code，2D CWOOC)，但类似于一维常重量光正交码，二维常重量光正交码也只能满足单一质量的服务需求。为了解决这一问题，Yang于2001年引入二维变重量光正交码(Two-Dimensional Variable-Weight Optical Orthogonal Code，2D VWOOC).下面给出二维变重量光正交码的定义。设W={w1，w2,…，wr}为正整数集合，Λa=（λ(1)a,λ(2)a，…，λ(r)a)）为正整数数组，Q=(q1，q2,…，qr)为正有理数数组且r∑i=1qi=1.不失一般性，我们假设w1＜w2＜…＜wr。二维（u×v，W,Λa，λa，Q）变重量光正交码或(u×v，W,Λa，λc，Q)-OOC C，是一簇u×v的(0，1)矩阵（码字），并且满足以下三个性质：码字重量分布:C中的码字所具有的汉明重量均在集合W中，且C恰有qi·|C|个重量为wi的码字，1≤i≤r，即wi为重量等于wi的码字占总码字个数的百分比，因而r∑i=1qi=1；周期自相关性:对任意矩阵X∈C,其汉明重量wk∈W,整数(Τ)，0＜(Τ)＜v-1，X=( x0,0 x0,1… x0，v-1x1，0 x1，1… x1,v-1…………xu-1,0 xu-1，1… xu-1,v-1)，u-1∑i=0 v-1∑j=0 xi，jxi，j⊕(Τ)≤λ(k)a，1≤k≤r；周期互相关性:对任意两个不同矩阵X,Y∈C,整数(Τ)，0≤(Τ)＜v-1, X=(x0，0 x0，1… x0，v-1x1,0 x1,1… x1，v-1…………xu-1,0 xu-1,1… xu-1,v-1), Y=(y0,0y0,1…y0,v-1y1,0y1,1…y1,v-1…………yu-1,0yu-1,1…yu-1,v-1),u-1∑i=0 v-1∑j=0 xi,jyi，j⊕(Τ)≤λc.上述符号⊕表示对v取模运算。若λ(1)a=λ(2)a=…=λ(r）a=λa，我们将(u×v，W,Λa，λc，Q)-OOC记为(u×v，W,λa，λc，Q)-OOC.若λa=λc=λ，则记为(u×v，W,λ,Q)-OOC.若Q=（a1/b，a2/b，…，ar/b）且gcd(a1，a2，…，ar)=1，则称Q是标准的，显然，b=∑ai.若W={w}，则Q=(1).所以，常重量的(u×v，w,λ)-OOC可以看作是（u×v，{w}，λ，(1))-OOC。对于光正交码，当它的码字个数达到最大值时称其为最优的.而对于最优（u×v，W,1，Q）-OOC的构造已有一些成果，但就作者目前所知对于最优二维变重量光正交码的存在性结果不多，本文将做继续研究并且得到以下主要结果：定理1.1如果在Zv上存在斜Starter，则存在1-正则且最优(6×v，{3,4}，1，(4/5，1/5))-OOC；定理1.2如果在Zv上存在斜Starter,则存在1-正则(6×v，{3，4}，1，(2/3，1/3))-OOC；定理1.3如果在Zv上存在斜Starter，则存在1-正则(9×v，{3，4}，1，(7/8，1/8))-OOC；定理1.4设v为正整数且v的每个质因子p≡1(mod4)，则存在1-正则且最优(3×v,{3,4},1,(4/5,1/5))-OOC；定理1.5设v为正整数且v的每个质因子p≡1(mod4)，则存在1-正则且最优(6×v，{3,4},1,(6/7,1/7))-OOC；定理1.6设v为正整数且v的每个质因子p≡1(mod4),则存在1-正则且最优(6×v,{3,4},1,(10/11,1/11))-OOC；定理1.7设v为正整数且v的每个质因子p≡1(mod4),则存在1-正则且最优(6×v,{3,4},1,(22/23,1/23))-OOC；定理1.8设v为正整数且v的每个质因子p≡1(mod6)，则存在1-正则且最优(3×v,{3,4},1,(1/2,1/2))-OOC；定理1.9设v为正整数且v的每个质因子p≡1(mod6)，则存在1-正则且最优(4×v,{3,4},1,(2/5,3/5))-OOC；定理1.10设v为正整数且v的每个质因子p≡1(mod6)，则存在1-正则且最优(4×v,{3,4},1,(6/7,1/7))-OOC；定理1.11设v为正整数且v的每个质因子p≡1(mod6)，则存在1-正则且最优(4×v,{3,4},1,(10/13,3/13))-OOC；定理1.12设v为正整数且v的每个质因子p≡1(mod6)，则存在1-正则且最优(5×v,{3,4},1,(3/4,1/4))-OOC；定理1.13设v为正整数且v的每个质因子p≡1(mod6)，则存在1-正则且最优(5×v，{3,4},1,(19/22,3/22))-OOC；定理1.14设v为正整数，v的每个质因子p≡7(mod12)且p≥31，则存在1-正则且最优(4×v，{3，4}，1，(6/11，5/11))-OOC；定理1.15设v为正整数且v的每个质因子p≡1(mod4),则存在1-正则且最优(5×v,{3,4,5},1,(3/5,1/5,1/5))-OOC；定理1.16如果在Zv上存在斜Starter,则存在1-正则且最优(7×v，{3,4,5}，1，(7/11，3/11，1/11))-OOC。

目录

摘要

第一章 引言

§1．1 光正交码

§1．2 二维变重量光正交码与循环填充

§1．3 本文的主要工作

第二章 最优(u×v，{3，4}，1，Q)-OOCs的构造

§2．1 用斜Starter构造二维变重量光正交码

§2．2 用GQS构造二维变重量光正交码

§2．3 用PB构造二维变重量光正交码

§2．4 最优(4×v，{3，4}，1，(6／11，5／11))-OOC的构造

第三章 最优(u×v，{3，4，5)，1，Q)-OOCs的构造

§3．2 最优(7×v，{3，4，5}，1，(7／11，3／11，1／11))-OOC

第四章 小结及进一步研究的问题

参考文献

攻读硕士期间完成论文

致谢

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