亚纯函数与代数体函数值分布中的若干问题

摘要

亚纯函数和代数体函数的唯一性和奇异方向是函数值分布理论中的两个主要研究方向。本文主要应用Nevanlinna值分布理论和Ahlfors-Shimizu几何特征，就这两个研究方向中的若干问题进行了探讨。全文分为五章。
　　 第一章，简要介绍了亚纯函数和代数体函数的Nevanlinna基本理论和Ahlfors-Shimizu几何特征。它们是研究函数唯一性理论和奇异方向的重要工具。
　　 第二章，应用方程f（n）（z）-z=eQ（z）（f（z）-z）（Q（z）为整函数）解的增长性，我们研究了非常数整函数f与其任意阶导数f（n），f（m）（n，m为不同的正整数）具有公共不动点的唯一性问题。在f满足超级有限且不为正整数的情况下，我们得到了f的一般表达式，并证明了在此条件下，我们还有f（n）≡f（m）。
　　 第三章，讨论了复平面上（或单位圆内）的亚纯函数在角域内具有公共值（或公共函数）的唯一性问题。本章共分两节。在第一节，研究了复平面上亚纯函数的Borel方向和公共函数之间的关系。通过应用共形映射和单位圆内亚纯函数的Nevanlinna理论，我们得到了复平面上亚纯函数在包含Borel方向的角域内具有五个公共有理函数的一些唯一性定理。在第二节，研究了单位圆内亚纯函数的Borel半径和公共值（或公共函数）之间的关系。通过应用共形映射和单位圆内亚纯函数的Nevanlinna理论，我们得到了单位圆内允许亚纯函数在包含Borel半径的角域内具有五个非允许亚纯函数的一些唯一性定理。同时，研究了单位圆内允许亚纯函数在包含Borel半径的角域内具有公共值的唯一性问题。
　　 第四章，研究了代数体函数与其导数具有公共值的唯一性问题。根据代数体函数的特性，我们首先给出了代数体函数与其导数的公共值的定义，在此基础上，我们得到了几个关于代数体函数与其导数具有公共值的唯一性定理。
　　 第五章，研究了角域内代数体函数涉及重值的Borel方向的相关问题。借助于代数体函数关于覆盖曲面的一个基本不等式，并通过应用代数体函数的Ahlfors-Shimizu特征函数和角域到单位圆的保形变换，我们得到了角域内有限正级代数体函数涉及重值的Borel方向的存在范围，并在此基础上，给出了角域内有限正级代数体函数及其导数存在公共的涉及重值的Borel方向的判定方法。

目录

文摘

英文文摘

第一章 Nevanlinna理论和Ahlfors—Shimizu几何特征

§1．1 Nevanlinna理论

§1．1．1 亚纯函数的Nevanlinna理论

§1．1．2 代数体函数的Nevanlinna理论

§1．2 Ahlfors—Shimizu几何特征

第二章 与其导数具有一个公共函数的整函数的唯一性

§2．1 引言及主要结果

§2．2 引理

§2．3结论的证明

第三章 公共值(函数)与奇异方向

§3．1 复平面上亚纯函数的情形

§3．1．1 主要结果

§3．1．2 引理

§3．1．3 定理3．1的证明

§3．2 单位圆内亚纯函数的情形

§3．2．1 主要结果

§3．2．2 引理

§3．2．3 结论的证明

第四章 与其导数具有公共值的代数体函数的唯一性

§4．1 引言及主要结果

§4．2 引理

§4．3 结论的证明

第五章 代数体函数及其导数的涉及重值的Borel方向

§5．1 符号及定义

§5．2 引理

§5．3 主要结果及其证明

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