几类特殊线性代数方程组的迭代解法及其收敛性分析

摘要

在许多实际问题中，如经济学中的投入——产出问题，最终归结为解线性方程组Ax=b，而迭代法是解上述线性方程组的重要方法。用迭代法解线性方程组Ax=b时，很重要一点就是方程解的收敛性问题。一般来说，迭代法的收敛性不仅与方程组系数矩阵的性质有着密切的关系，如Z-矩阵，L-矩阵，M-矩阵，严格对角占优矩阵，拟对角占优矩阵（H-矩阵），还与矩阵A的分裂迭代格式有关。
　　 本文主要针对几类特殊矩阵和矩阵的各种分裂进行研究。对于特殊矩阵，本文详细介绍M-矩阵，H-矩阵，广义严格对角占优矩阵，广义M-矩阵和准M矩阵以及它们之间的内在关系。与此同时，方程组系数矩阵A的各种分裂在文中也一一作了讨论。在前人研究的基础上，引入了新的矩阵：广义严格对角占优矩阵，广义M-矩阵和准M-矩阵，也相应得出各种不同的分裂格式，如广义正则分裂，准正则分裂，准收敛正则复合分裂。利用已有有关迭代法收敛性质，获得在系数矩阵为上述矩阵的情况下，其相应迭代法也收敛的结论。进一步拓展了解线性方程组Ax=b的迭代思路，丰富了迭代法的理论。

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章 绪论

1.1 研究背景

1.2 主要研究内容

1.3 研究意义

1.4 本文概要

第二章 大型线性方程组的数值解法

2.1 直接法

2.2 迭代法

2.2.1 为何要迭代

2.2.2 迭代法的近似解与真实解的比较

2.2.3 经典迭代法

2.3 本章小结

第三章 特殊矩阵迭代收敛性分析

3.1 M-矩阵和拟对角占优矩阵(H-矩阵)

3.1.1 M-矩阵的定义及相关性质

3.1.2 M-矩阵与几类对角占优矩阵

3.1.3 拟对角占优矩阵(H-矩阵)及其判定

3.2 迭代法

3.3 特殊矩阵迭代法收敛性的证明

3.4 迭代法的特殊形式

3.4.1 正则与弱正则分裂

3.4.2 正规分裂和P-F分裂

3.4.3 广义正则分裂和准正则分裂

3.4.4 数值算例：

3.5 本章小结

第四章 广义M矩阵二级迭代法收敛性判断

4.1 二级迭代法

4.2 二级迭代的收敛性条件

4.3 广义M-矩阵二级迭代法的收敛性判断

4.4 本章小结

结论与展望

参考文献

攻读硕士学位期间取得的研究成果

致谢