薄板振动问题的准格林函数方法

摘要

准格林函数方法与有限元法、边界元法以及无单元法等传统的数值分析方法相比有其自身的优点。近年来，国内外学者在准格林函数方法的研究方面已经取得了许多重要成果。准格林函数方法最早是由Rvachev提出的，并将此方法应用到泊松方程的边值问题中；袁鸿等将该方法推广到各种算子中，并应用于解决各种边界条件的多边形弹性板弯曲问题。在此基础上，本文提出了周边简支多边形薄板自由振动问题的准格林函数方法，进一步研究和发展了准格林函数方法。 本文首先综述了有限元法、边界元法等数值方法及其优缺点，总结了准格林函数的特点及优越性，介绍了准格林函数方法的实质；对国内外关于薄板振动问题的各种解析法、数值计算方法进行了回顾；并且介绍了准格林函数方法的研究和发展现状。 第二章对准格林函数方法在拉普拉斯(Laplace)算子、亥姆霍兹(Helmholtz)算子以及双调和算子等算子中的应用进行了综述。在力学、物理问题中，通常都包含有这类算子。 第三章分析了周边简支情况下一般弹性多边形薄板的自由振动问题，也分析了Winkler地基模型上的简支多边形薄板的自由振动问题；从简支多边形薄板自由振动问题的振形微分方程出发，利用中间变量，将原问题的微分方程分解为两个耦合的低阶微分方程；并通过变量代换，将原问题的非齐次边界条件转化为齐次边界条件的边值问题。利用基本解构造一个准格林函数，这个函数满足了齐次边界条件。根据格林公式，利用准格林函数以及边界条件，将微分方程化为积分方程。得到的积分方程中的积分核具有奇异性，再根据R-函数理论，可以选择适当的边界规范化方程，消除核的奇异性。对积分方程进行数值离散，并用适当的数学方法对奇异项进行处理。通过对整板采用不同数量网格划分，验证了准格林函数方法在分析周边简支情况下一般弹性多边形薄板的自由振动问题和分析Winkler地基模型上的简支多边形薄板的自由振动问题的收敛性。本文还计算了各种不同形状简支板的固有频率，检验了准格林函数方法的有效性和可行性。 第四章用准格林函数方法分析Pasternak地基模型上简支多边形薄板的自由振动问题，其基本原理与分析一般弹性薄板的自由振动问题相似，只是在公式中多了一项。为了检验准格林函数方法在分析Pasternak地基模型上简支多边形薄板自由振动问题的有效性和可行性，采用了多个数值算例。并对整板采用了不同数量的网格布置，以验证准格林函数方法的收敛性。 通过本文的研究表明，准格林函数应用于分析多边形薄板自由振动问题很有效，且具有很高精度；随着划分网格数量的增加，准格林函数方法的计算结果能很快的收敛于精确解，具有很高的收敛率；准格林函数方法对划分网格的形状不敏感，特别适用于计算各种复杂多边形支承板自由振动问题。所以，准格林函数方法具有用于分析复杂边界条件下各种形状薄板振动问题的应用前景。

目录

文摘

英文文摘

第一章绪论

第二章准格林函数方法在算子中的应用

第三章用准格林函数方法分析简支多边形薄板振动问题

第四章双参数地基上简支板振动问题的准格林函数方法

结论与展望

参考文献

攻读学位期间发表的论文

独创性声明

致谢

附录