基于Heston随机波动模型的近似精确仿真技术研究

摘要

Heston随机波动模型有效地克服了传统的Black-Scholes模型“波动率微笑”的缺点，比传统的B-S模型能更好地刻画金融衍生品特别是期权的标的资产的价格和方差的动力学系统。当标的资产构成单一时，可以求得Heston模型的解析解，即能得到衍生品价格的精确值。事实上，在真实市场中，衍生品的标的物通常是复杂的，在这些情况下，Heston模型的解析解将无法求得，即无法正确估计衍生品的价格。然而，对衍生品进行精确定价是金融市场上实施风险管理的前提。基于上述原因，对Heston随机波动模型的数值技术的研究，日益成为计算金融领域的热点课题。
　　本文以标的资产为单只股票的期权作为研究对象，该股票的价格随时间变动而自由行走，在已有数值技术的基础上，基于现有的研究思路，针对数值技术存在的某些不足，对其进行改进，进而提出了两种新的近似精确离散方法。
　　首先，根据目前已有的对方差过程的处理方法，将对Heston模型的离散技术分为有偏的It(o)-Taylor方法和低偏的近似精确方法两个大类，并针对每个大类选择其具有代表性的离散方法进行算法介绍和性能分析。第一类方法的核心思想在于，引入适当的中间算子，运用It(o)公式和Taylor展开式对其进行计算，以减缓状态变量的衰减速度。并根据模型的直观形式将微分方程转化为差分方程，用以对状态变量进行粗略的估计。这类方法的优势在于计算成本小，运行效率非常高，不足之处在于对模型的参数依赖程度高，当Feller条件不满足时，利用其得到的数值结果与模型解析解存在较大偏差。第二类方法的核心思想在于，基于模型本身，根据变量的真实分布对其进行直接采样，或是用逼近真实分布的近似分布对其进行间接采样。这类方法的优势在于能够得到逼近解析解的数值结果，精度很高，不足之处在于需要进行大量的Fourier逆运算以及复杂分布样本的生成，使得这类方法的计算成本较高，一些方法尽管能够得到非常精确的结果，但因为运行效率低而不被从业者们采纳。
　　其次，在学习已有算法的基础上，根据已有技术的特点及存在的不足，对一些方法中计算成本高或是精度较差的采样方法进行改进，提出了ES-QE方法和QE-IG方法，并对新算法进行总结性描述与分析。这是本文的创新之处。
　　再次，利用matlab平台对新方法及几种代表性经典方法进行数值仿真，并分别从欧式看涨期权和美式看跌期权的角度对算法的效率、精度进行分析，设计了美式期权定价的修正的最小二乘蒙特卡罗-神经网络方法，验证了新算法的有效性和实用性。
　　最后，根据数值仿真结果，提出本文结论以及对未来工作的展望。

目录

摘要

第一章 绪论

1．1 研究背景及研究意义

1．1．1 研究背景

1．1．2 研究意义

1．2 国内外相关文献综述

1．2．1 随机波动模型的数值方法

1．2．2 美式期权定价方法

1．2．3 存在的问题总结及发展趋势

1．3 本文研究思路与技术路线

1．4 本文的创新之处

1．5 本文的篇章结构

本章小结

第二章 Heston随机波动模型概述

2．1 对方差过程的动力学分析

2．2 对价格过程的动力学分析

本章小结

第三章 Heston随机波动模型的数值技术

3．1 有偏的It?-Taylor法

3．1．1 Euler-Full Truncation(FT)方法

3．1．2 转换波动率(TV)法

3．2 低偏的近似精确离散方法

3．2．1 精确方法(ES)

3．2．2 近似精确Fourier逆法(AESM)

3．2．3 二次指数法(QE)

3．2．4 逆高斯分布(IG)方法

3．3 美式期权修正的最小二乘Monte-Carlo定价方法

3．3．1 估值框架

3．3．2 MLSM算法

本章小结

第四章 Heston模型的ES-QE离散方法

4．1 基本假设与模型

4．2 ES-QE离散格式

4．2．1 对方差(V)(t+△)的采样

4．2．2 对价格(X)(t+△)的采样

4．2．3 ES-QE的算法实现

4．3 算法分析

本章小结

第五章 Heston模型的QE-IG离散方法

5．1 基本假设与模型

5．2 QE-IG离散方法

5．2．1 对价格(X)(t+△)的采样

5．2．2 QE-IG算法

5．3 算法分析

本章小结

第六章 数值仿真研究

6．1 欧式期权定价数值检验

6．1．1 Feller条件满足时的数值结果

6．1．2 Feller条件不满足时的数值结果

6．2 美式期权定价数值检验

6．2．1 修正的最小二乘-神经网络方法(MLSM-NN)

6．2．2 Feller条件满足时的数值结果

6．2．3 Feller条件不满足时的数值结果

本章小结

总结与展望

参考文献

攻读学位期间发表论文

声明

致谢

附录