整数与分数阶多卷波混沌系统及其应用研究

摘要

自二十世纪六十年代Lorenz在数值试验中发现混沌后，混沌理论引起了国内外学者的广泛关注。随着研究的不断深入，混沌在数学、物理、工程控制、化学等领域都取得了长足发展，而多卷波混沌系统则是混沌理论与应用中研究的一个重要内容。
　　本学位论文对整数与分数阶多卷波混沌系统及其应用进行了深入研究。在理论方面，研究了整数与分数阶多卷波混沌系统的建模、控制与混沌产生机理问题;在应用方面，对多卷波生成的混沌序列进行了NIST随机性测试，并将其应用于数字图像的加密与解密。对高阶蔡氏电路进行了研究，给出了FPGA的硬件实现结果。具体工作归纳如下:
　　1.在Chua系统的基础上，设计控制器，使其产生多卷波混沌吸引子。由于Chua系统具有奇对称性，因此，这些方法并不能应用于具有偶对称性的混沌系统中。寻找在具有偶对称性的混沌系统中产生多卷波混沌吸引子的方法，具有十分重要的意义。本文在广义Lorenz系统族的基础上，提出一种新的具有偶对称性的双翅膀混沌系统。基于该系统，提出一种新的基于阶梯波函数的控制方法，在具有偶对称性的双翅膀混沌系统中生成多卷波混沌吸引子，并对生成多卷波混沌吸引子的动力学特性进行了分析，给出了数值仿真和电路实现结果。
　　2.许多自然现象都表现出分数阶微分方程的特性。研究人员逐步认识到对分数阶混沌系统的研究十分重要。其中对分数阶多卷波混沌系统的研究还未成熟。本文构造分数阶分段型Chen系统与分数阶二次型Lü系统，设计分数阶混沌系统多卷波控制器，分别在这两个混沌系统中产生多卷波混沌吸引子，并对产生多卷波混沌吸引子的动力学特性进行了分析。
　　3.在多卷波混沌系统的理论研究基础上，提出将多卷波生成的混沌序列应用于数字图像加密与解密。首先介绍了NIST测试及其工作原理。然后用多卷波混沌系统产生混沌序列，并对该混沌序列进行NIST随机性测试。测试结果表明混沌序列满足NIST测试结果，能够成功应用于数字图像加密与解密。最后，在FPGA嵌入式系统中使用多卷波混沌系统产生的混沌序列进行数字图像加密与解密的实验，给出了实验结果。
　　4.提出高阶蔡氏电路的一种构造方法与硬件实现，并分别给出五阶、六阶、七阶蔡氏电路方程。对高阶蔡氏电路进行了仿真实验，给出高阶蔡氏电路的混沌吸引子。在此基础上对其混沌动力学特性进行了研究，包括基本的动力学分析，平衡点及其动力学特性、分岔图分析及李氏指数。给出了高阶蔡氏电路的离散化方法，并在FPGA技术平台上实现了高阶蔡氏电路。
　　本学位论文的工作得到了国家自然科学基金（批准号:61172023）的资助。

目录

摘要

第一章 绪论

1．1 引言

1．1．1 混沌的研究历史和背景

1．1．2 混沌的定义

1．1．3 混沌的基本特征

1．2 研究意义

1．3 国内外研究现状

1．4 本文的研究内容

第二章 分数阶微积分与分数阶混沌系统

2．1 分数阶微积分的研究历史和分数阶混沌系统的研究现状与意义

2．2 几个常用公式

2．2．1 Γ-函数及其性质

2．2．1 组合公式(nj)及其计算

2．3 由整数阶导数的定义推广至GL定义的分数阶微积分定义

2．3．1 整数阶导数的定义

2．3．2 由整数阶导数的定义推广至GL定义的分数阶导数(微分)定义

2．3．2 由整数阶导数的定义推广至GL定义的分数阶积分定义

2．4 由Cauchy公式定义的整数阶积分到RL定义的分数阶微积分

2．4．1 由Cauchy公式定义的整数阶微积分的推广

2．4．2 由RL定义的分数阶积分推广的RL定义的分数阶微分

2．5 分数阶微积分的基本性质及其解法

2．5．1 分数阶微积分的基本性质

2．5．2 分数阶微积分的计算方法

2．6 本章小结

第三章 整数阶多卷波混沌系统

3．1 引言

3．2 广义Lorenz系统族介绍

3．3 偶对称分段型Chen系统与二次型Lü系统多卷波混沌吸引子

3．3．1 偶对称分段型Chen系统多卷波混沌吸引子

3．3．2 偶对称二次型Lü系统多卷波混沌吸引子

3．4 一个新的多卷波混沌吸引子

3．4．1 一个新的双翅膀混沌系统

3．4．2 一个新的多翅膀混沌系统

3．4．3 电路设计与实验结果

3．5 本章小结

第四章 分数阶多卷波混沌系统

4．1 引言

4．2 分数阶分段型Chen系统

4．2．1 分数阶分段型多翅膀Chen系统

4．2．2 分数阶分段型Chen系统动力学特征

4．3 分数阶二次型Lü系统

4．3．1 分数阶分段型多翅膀Lü系统

4．3．2 分数阶二次型Lü系统动力学特征

4．4 本章小结

第五章 基于多卷波混沌吸引子的数字图像加密与解密

5．1 引言

5．2 MST测试介绍

5．3 多卷波混沌序列的随机性测试

5．4 基于多卷波混沌系统的图像加密与解密

5．4．1 FPGA嵌入式LINUX系统硬件与软件描述

5．4．2 基于多卷波混沌吸引子的数字图像加密与解密

5．4．3 数字图像加密与解密的实现

5．5 本章小结

第六章 高阶蔡氏电路的一种构造方法与硬件实现

6．1 引言

6．2 高阶蔡氏电路构造规则

6．2．1 五阶蔡氏电路无量纲状态方程

6．2．2 六阶蔡氏电路无量纲状态方程

6．2．3 七阶蔡氏电路无量纲状态方程

6．3 高阶蔡氏电路混沌吸引子仿真结果

6．4 高阶蔡氏电路混沌吸引子基本动力学分析

6．5 高阶蔡氏电路的FPGA实现

6．6 本章小结

结论

一．本文的主要工作

二．未来研究工作设想

参考文献

攻读博士学位期间发表或完成的论文

攻读博士学位期间发表或完成的论文对应章节

声明

致谢