分段线性弹性碰撞系统分岔与混沌控制

摘要

分段线性系统广泛存在于机械系统之中,是典型的非光滑系统,故其动力学分析和振动控制一直受到人们的关注。深入研究分段线性系统对了解其运动机理,分析系统的全局性能有十分重要的意义。混沌现象是非线性系统特有的一种振动形式,混沌振动会对系统的工作性能和可靠性产生很大影响,所以控制系统的混沌振动具有重要的意义。本文运用理论分析与数值模拟相结合,研究了分段线性系统的非线性动力学行为,并基于对系统非线性动力学的研究和对混沌振动的认识,探索了适用于此类非光滑系统的混沌控制方法。其主要内容如下:
　　 1.叙述了本文的研究意义,综述了非光滑动力系统与混沌控制近年来的部分研究成果、最新发展动态和尚存在的主要问题。介绍了非光滑动力系统的定义以及基本的分析方法,例如运用Poincaré映射分析系统的运动特性；利用Lyapunov指数及维数判定动力系统运动的稳定性和混沌特性,并且简单介绍了本文的研究内容。
　　 2.研究了一类单自由度分段线性弹性碰撞系统周期运动横截穿越分界面的动力学行为。结合光滑系统的 Floquet理论给出此非光滑系统发生倍化分岔的条件。使用数值仿真进一步揭示了系统周期运动经倍化分岔通向混沌的现象。随后研究了一类两自由度分段线性弹性碰撞系统周期运动横截穿越分界面的分岔现象和混沌行为。将得到的跳跃矩阵结合光滑系统的Floquet理论通过数值方法计算了周期运动发生 Neimark-Sacker分岔的分岔点,数值仿真表明系统存在 Neimark—Sacker分岔和亚谐分岔等连续分岔。
　　 3.本文运用两种控制策略对单自由度分段线性弹性碰撞系统的混沌行为进行控制。第一种控制策略是采用非线性延迟反馈法控制系统混沌振动,利用分岔图和Poincaré映射图分析了系统的动力学行为,揭示了延迟反馈可以使系统混沌行为镇定到稳定的周期轨道上。延迟反馈项实际上是一个作用明显的扰动项,通过选择合适的反馈控制参数R1、R2和延迟时间τ,引导非光滑系统的混沌运动转化为规则的周期运动,通过这种方法使得混沌运动得到控制。
　　 第二种控制策略是运用周期激振力法控制系统的混沌行为,文中选取正弦驱动力为周期激振力。周期激振力是在工程实际中容易产生与控制的外驱动力,故运用正弦驱动力控制单自由度非光滑机械系统的分岔与混沌运动。周期激振力法通过给系统直接加入控制项来减弱系统的混沌运动:周期驱动力与混沌系统中的某一不稳定的周期运动产生共振时,系统就能从自身不稳定极限环中找到某个与外驱动信号共振的极限环稳定下来,因此混沌运动得到控制。