不定最小二乘问题的向后误差界估计

摘要

不定最小二乘(ILS)问题来源于总体最小二乘问题和最优化领域(如鲁棒估计方法).在ILS问题有唯一解的前提下,很多专家和学者给出了求解ILS问题的相关算法。向后误差分析可以判断ILS问题近似解的求解方法是否向后稳定,所以本文对ILS问题向后误差界估计进行研究。
　　本文首先推出了一系列结论,并应用这些结论推出了ILS问题向后扰动矩阵集合的一个子集ΘILS+。其次,集合ΘILS+中含有正定条件,导致最小范数难以计算,因此我们可以先考虑去掉正定条件后的集合Θ。在集合Θ上求得的最小范数η(y)及其所对应的最佳矩阵E*。若最佳矩阵E*满足正定条件,那么η(y)就可以作为ILS问题向后误差上界.当不定最小二乘问题退化成最小二乘问题时,最小范数η(y)及其所对应的最佳扰动矩阵E*也就退化为最小二乘问题向后误差的最小范数及其对应的最佳扰动矩阵。接着对矩阵A和向量b同时扰动,得到了最佳扰动矩阵和最佳扰动向量.最后,本文通过对矩阵JA奇异值分解推导出一个不超过η(y)2倍的上界~η(y),其计算的复杂度较η(y)会小很多。向后误差界可以用来判断求解不定最小二乘问题的计算方法是不是向后稳定的,同时也可以作为求解不定最小二乘问题算法的终止准则。

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第一章 绪论

§1.1 问题背景

§1.2 研究现状

§1.3 主要内容和结构安排

§ 1.4 符号简介

第二章 预备知识

§2.1 不定最小二乘(ILS)问题

§2.2 向后误差

§2.3 矩阵的广义逆

§2.4 ILS问题的向后误差

§2.5 相关引理

第三章 ILS问题向后扰动矩阵集的一个子集

§3.1 导出的相关结论

§3.2 ILS问题向后扰动矩阵集的一个子集

§3.3 (A+E)HJ(A+E)>0的一个充分条件

第四章 ILS问题的向后误差上界

§4.1 对A扰动时的向后误差上界

§4.2 对A和b同时扰动时的向后误差上界

§4.3 η(y)的一个复杂度较低的上界

第五章 结论与展望

参考文献

致谢