关于（序）S-系平坦性质的若干研究

摘要

(序)半群的S-系理论作为(序)半群代数理论的一个重要分支,它不仅在(序)半群理论的研究中而且还在数学的其它领域(如图论、代数自动机理论等)中起着重要的作用。本文主要通过研究(序)S-系的平坦性质,来刻画(序)幺半群的结构特征.全文共分为六章.
　　第一章首先介绍了(序)S-系理论的研究背景,然后给出了本文的主要研究结果,最后介绍了本文所需要的一些基本概念和事实.
　　第二章研究了S-系的条件(P F′′).首先,在S-系范畴中引入了条件(P F′′),讨论了该性质与弱拉回平坦性以及条件(PWP)之间的关系,并证明了条件(PF′′)恰好等价于条件(P′)和条件(E′)的并合.其次,利用(循环、Rees商) S-系的条件(P F′′)刻画了幺半群的结构.特别地,刻画了Rees商系的条件(P F′′)分别与条件(P′)、弱拉回平坦性和强平坦性一致的幺半群.最后,借助于S-系满同态的纯性,研究了条件(P F′′)、条件(P′)和条件(E′).
　　第三章研究了 S-系的条件 GP-(P).相应于 S-系范畴中的GP-平坦性,我们首先定义了条件(P W P)的一种推广,称之为条件GP-(P).利用(循环、Rees商) S-系的这一条件,研究了幺半群的同调分类问题,尤其刻画了一些重要的幺半群,诸如:右可消幺半群、广义正则幺半群、群等.进而推广了条件(PWP)的相关结论.其次,通过研究满足条件GP-(P)的对角系,给出了可消幺半群、左群等幺半群的一些等价刻画.最后,通过引入拟 G-2-纯满同态和拟2-纯满同态,得到了条件(PWP)和条件GP-(P)的一些新的等价描述.
　　第四章研究了序S-系范畴中满同态的纯性问题。首先,通过引入一些具有某些纯性条件的满同态,给出了序S-系中平坦性质的等价刻画,诸如:条件(E)、条件(E′)、条件(P)、条件(Pw)、条件(WP)、条件(WP)w、条件(PWP)以及条件(PWP)w.进而获得了序 S-系中 Stenstr¨om-Govorov-Lazard定理的一些等价条件.其次,证明了满同态的这些纯性类型在有向上极限下是封闭的.特别地,我们给出了一种证明有向上极限保持序S-系平坦性质的新方法.
　　第五章研究了序S-系的GP-序平坦性。首先,给出了GP-序平坦序S-系的一些基本性质.其次,研究了与 GP-序平坦性有关的同调分类问题。最后,考虑了 GP-序平坦序S-系的直积.作为应用,刻画了序S-系的直积保持序主弱平坦性的序幺半群.同时,推广了Khosravi在2014年的一些主要结果.
　　第六章研究了序S-系的弱挠自由性。首先,通过反例说明了Bulman-Fleming等人在2005年所给的递推关系:“主弱平坦性?挠自由性”,以及Golchin等人在2009年关于平坦性和(主)弱平坦性的等价描述是不正确的.在此基础上,我们给出了平坦性和(主)弱平坦性的正确刻画,并且研究了弱挠自由序 S-系.利用弱挠自由性,刻画了几乎正则序幺半群和序右可消序幺半群的特征.

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第一章 前言

§1.1 研究背景

§1.2 研究内容

§1.3 基本概念和事实

第二章 关于条件 (P F′′)

§2.1 引言

§2.2 满足条件 (P F′′)的 S-系

§2.3 满足条件 (P F′′)的循环系和 Rees商系

§2.4 纯性与满同态

§2.5 结束语

第三章 关于条件 GP-(P )

§3.1 引言

§3.2 满足条件 GP-(P )的 S-系

§3.3 满足条件 GP-(P )的循环系和 Rees商系

§3.4 满足条件 GP-(P )的对角系

§3.5 纯性与满同态

§3.6 结束语

第四章 关于序 S-系满同态的纯性

§4.1 引言

§4.2 序 S-系满同态的纯性

§4.3 一些相关的序 S-系平坦性质

§4.4 序 S-系的有向上极限

§4.5 结束语

第五章 关于 GP-序平坦性

§5.1 引言

§5.2 基本性质

§5.3 序幺半群的同调分类

§5.4 GP-序平坦系的积

§5.5 结束语

第六章 关于弱挠自由性

§6.1 引言

§6.2 一些反例

§6.3 弱挠自由性

§6.4 序幺半群的同调分类

§6.5 结束语

参考文献

在学期间的研究成果

致谢