基于Lax-Wendroff型时间离散的局部间断有限元方法直接解Hamiltion-Jacobi方程

摘要

本文提出一种基于Lax-Wendroff型时间离散的局部间断有限元方法直接解Hamilton-Jacobi方程的数值格式。由于在时间上采用Lax-Wendroff离散，在将时间导数转化为空间导数时，这时就有关于空间的高阶导数项。近些年来局部间断有限元(LDG)在处理高阶导数大量成功运用，我们很自然一个想法就是将LDG方法引入解决空间方向上的这些高阶导数项。LDG方法是通过引入新的变量逼近解的导数项然后将方程拆解成几个逼近一阶方程系统，这时用间断有限元求解这些一阶方程时选取适当数值通量方向就成为很关键的因素，本文我们试探性给出了针对不同导数阶DG求解过程中数值通量方向的组合，并且在做数值计算时能达到我们预期的效果。
　　Lax-Wendroff时间离散是相对于总变差减少(TVD)的Runge-Kutta多步法另一时间离散方式。与TVD-RK方法比较，Lax-Wendroff时间离散在时间上只要走一步，而且在要加入限制器的时候每个时间步限制器只要执行一次。但是，随着展开项数的增加，表达式会变得很复杂，而且处理更高阶导数项也变得更加棘手，所以本文只讨论k=0，1，2情况。
　　我们将该格式运用于各种一维和二维的Hamilton-Jacobi方程，并且测试其精度。对于k（k=0，1，2）次多项式逼近，解在光滑处有（k+1）阶精度，并且能成功捕抓导数间断的位置。除个别算例要引入限制器外，格式最后都收敛于方程的粘性解。

目录

声明

摘要

第一章 引言

第二章 预备知识

2．1 RK-DG方法解H-J方程

2．2 RK-LDG方法直接解H-J方程

2．3 LDG处理高阶导数项

第三章 数值格式

3．1 基于H-J方程的LaX-Wendroff时间展开

3．2 一维数值格式的构造

3．3 二维数值格式的构造

3．4 限制器(limiter)的运用

第四章 数值算例

第五章 总结

参考文献

致谢