复Landsberg度量及复Finsler度量的双扭曲积

摘要

本文主要研究复Landsberg度量以及复Finsler度量的双扭曲积.研究了复Landsberg度量、实Landsberg度量、实Berwald度量、复Berwald度量以及弱的复Berwald度量之间的关系，考虑了这些特殊度量的构造问题，并尝试寻找复Finsler几何中的“独角兽”度量，即非K(a)hler-Berwald的复Landsberg度量.扭曲积是Riemann几何和实Finsler几何中构造特殊度量的一个重要手段，本文将它推广到了复Finsler几何中，研究了复Finsler度量的双扭曲积及其相关性质.
　　在第三章，研究一些特殊的实和复Finsler度量之间的关系.主要证明了:如果F是复流形M上的强凸的弱K(a)ler Finsler度量，则下列论述等价:
　　(i)F是一个实Berwald度量;
　　(ii)F是一个实Landsberg度量;
　　(iii)F是一个复Berwald度量;
　　(iv)F是一个弱的复Berwald度量.
　　证明了:如果F是复流形M上的强凸的弱K(a)hler Finsler度量，同时又是一个实Landsberg度量，那么F一定是一个复Landsberg度量.还构造了一些特殊的复Finsler度量，如强凸的复Berwald度量、强凸的复Landsberg度量等.
　　在第四章，主要研究复Finsler度量的双扭曲积.首先，导出了复Finsler度量的双扭曲积诱导的Chern-Finsler联络、复Rund联络、复Berwald联络、复Hashiguchi联络的表达式，这些复Finsler联络分别由双扭曲积流形的分量流形上的相应复Finsler联络表示.其次，给出了复Finsler度量的双扭曲积的全纯曲率、Ricci数量曲率和实测地线的计算公式，这些几何量分别由双扭曲积流形的分量流形上的相应量表示.得到了复Finsler度量的双扭曲积为K(a)ler Finsler度量（或弱K(a)hler Finsler度量、复Berwald度量、K(a)hler-Berwald度量、弱的复Berwald度量、复Landsberg度量、复局部Minkowski度量）的充要条件.作为应用，我们给出了构造复Berwald度量、弱的复Berwald度量、复局部Minkowski度量的一个有效方法.最后，我们研究了复Finsler度量的双扭曲积的局部射影平坦性、局部对偶平坦性以及局部共形平坦性.
　　在第五章，主要证明:一个酉不变的强拟凸的复Finsler度量是一个复Landsberg度量当且仅当它是一个酉不变的Hermite度量，这表明，在酉不变的强拟凸的复Finsler度量中，不存在复Finsler几何中的“独角兽”度量.

目录

声明

摘要

第一章 引言

1．1 研究背景和课题意义

1．2 本文的主要工作

第二章 预备知识

2．1 复Finsler流形

2．2 复Finsler流形上联络的一般理论

2．3 复Finsler流形上的几类重要联络

2．4 特殊复Finsler度量

第三章 实Landsberg度量和复Landsberg度量

3．1 实Finsler度量和强凸的复Finsler度量

3．2 复Landsberg度量的一个刻画

3．3 强凸的弱K?hler Finsler度量和实Landsberg度量

3．4 强凸的弱K?hler Finsler度量和弱的实Berwaid度量

3．5 强凸的复Berwaid度量的例子

3．6 强凸的复Landsberg度量的例子

第四章 关于复Finsler度量的双扭曲积

4．1 复Finsler度量的双扭曲积

4．2 复Finsler度量的双扭曲积诱导的联络

4．3 复Finsler度量的双扭曲积的全纯曲率和Ricci数量曲率

4．4 复Finsler度量的双扭曲积的实测地线

4．5 特殊复Finsler度量的双扭曲积

4．6 复Finsler度量的双扭曲积的射影平坦性

4．7 复Finsler度量的双扭曲积的共形平坦性

第五章 酉不变的强拟凸的复Landsberg度量

5．1 酉不变的强拟凸的复Finsler度量

5．2 酉不变的强拟凸的复Landsberg度量

参考文献

已发表和完成的论文

致谢