双层弹性膜接触问题的三种不动点算法

摘要

双层弹性膜单侧接触问题在弹性力学领域具有广泛的运用，如障碍问题和Signorini问题等。这种问题不仅是非线性的，而且涉及到两个弹性膜的位移和相互间的作用力这三个未知量的关系，从而给问题的研究带来很大困难。通常采用变分不等式研究双层弹性膜单侧接触问题解的性质。在此基础上，本文利用拉格朗日函数和增广拉格朗日函数表示的鞍点问题，得到三种求解双层弹性膜接触问题的不动点算法：Uzawa算法、半光滑牛顿法以及增广拉格朗日方法。 论文首先分析了双层弹性膜单侧接触问题解的一些性质。然后提出求解双层弹性膜单侧接触问题的Uzawa算法，该算法通过引入拉格朗日函数，把原问题转化为一个鞍点问题，再用Uzawa算法求解。该算法形式简单，而且很容易得到收敛性结果，但是算法中的收敛参数局限在较小范围并且很难估计。接着提出了求解双层弹性膜单侧接触问题的半光滑牛顿算法，这种算法是在引入双层弹性膜单侧接触问题的正则化问题基础上，利用基于广义微分的牛顿迭代法进行求解，并证明了算法收敛性。 由于半光滑牛顿算法要求参数要足够大才收敛，而且收敛性证明比较繁琐。为了改进算法性能，在上述半光滑牛顿算法的基础上，进一步改进得到增广拉格朗日方法，使得算法对所有的正参数都收敛。采用差分算子对微分算子进行近似，并用具体的数值结果对所得到的算法进行分析和比较。

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