基于边界元法与无网格局部Petrov-Galerkin法的耦合法和区域分解法

摘要

边界元法(BEM)是一种应用广泛的求解偏微分方程的方法，它具有精度高，降维等特点。无网格局部Petrov-Galerkin(MLPG)法是一种很受关注的数值方法，适合于求解非齐次，非线性，各向异性等问题。
　　 本文首先将无网格局部Petrov-Galerkin法和改进的移动最小二乘近似相结合，形成了改进的无网格局部Petrov-Galerkin法，并求解了二维类Helmholtz方程。在无网格局部Petrov-Galerkin法中，移动最小二乘近似被用来构造近似函数，在移动最小二乘近似中的代数方程组有时是病态的。因此改进的移动最小二乘近似被提出，改进的移动最小二乘近似采用加权正交函数系作为基函数，与传统的移动最小二乘近似相比，改进的移动最小二乘近似中的系数矩阵变成了非奇异的对角矩阵，因而无需计算系数矩阵的逆。数值算例的研究结果均表明改进的无网格局部Petrov-Galerkin法精度高，收敛速度快。
　　 无网格局部Petrov-Galerkin法是一个真正的无网格方法，它不需要单元或网格，但是它的计算量比有限元和边界元都大。因此本文基于边界元法和无网格局部Petrov-Galerkin法提出了一种直接耦合法，该方法将问题区域分解为不相重叠的边界元子域和无网格子域，连续性条件在两子域的公共边界上得到满足。然后将边界元方程、无网格方程以及连续性条件耦合成最终的方程组。在不同的子区域划分模式下讨论了该方法，一些数值算例被给出，证明了该方法的有效性。
　　 耦合法需要将边界元方程和无网格方程联立在一起，形成一个统一的大型方程组，因此本文又研究了基于边界元法和无网格局部Petrov-Galerkin法的区域分解法，该方法也将问题区域分解为不相重叠的边界元子域和无网格子域，连续性条件要在两子域的公共边界上得到满足，必须通过迭代程序。为了加速收敛，引进了固定松弛因子和动态松弛因子。然后通过丰富的数值算例详细讨论了两种松弛因子对迭代次数的影响以及公共边界上的初始值对迭代次数的影响。

目录

文摘

英文文摘

声明

1绪论

1.1边界元法的研究现状

1.2无网格法的研究现状

1.3藕合法的研究现状

1.4区域分解法的研究现状

1.5本文的研究工作

2无网格局部Petrov-Galerkin法

2.1移动最小二乘近似

2.2改进的移动最小二乘近似

2.3位势问题的无网格局部Petrov-Galerkin法

2.3.1局部对称弱形式

2.3.2积分方程的离散

2.4类Helmholtz方程的无网格局部Petrov-Galerkin法

2.4.1局部对称弱形式

2.4.2积分方程的离散

2.4.3数值算例

2.5本章小结

3基于BEM与MLPG法的耦合法

3.1位势问题

3.2位势问题的边界元法

3.3耦合算法

3.4数值算例

3.4.1 Laplace方程算例

3.4.2 possion方程算例

3.5本章小结

4基于BEM和MLPG法的区域分解法

4.1区域分解算法

4.1.1串行的Dirichlet-Neumann迭代法

4.1.2并行的Dirichlet-Neumann迭代法

4.2算法的离散形式

4.2.1串行的Dirichlet-Neumann迭代法

4.2.2并行的Dirichlet-Neumann迭代法

4.3松弛因子

4.4数值算例

4.4.1区域分解模式1

4.4.2区域分解模式2和区域分解模式3

4.4.3三维问题

4.5本章小结

5结论

致 谢

参考文献

附 录