生物数学中Keller-Segel模型解的整体存在性和渐近行为

摘要

本文研究了几类来源于生物学领域的Keller-Segel模型解的有关性质，Keller-Segel模型最重要的特征就是趋化性，因此，Keller-Segel模型有时又称趋化模型，在生物学领域具有很强的应用背景。所谓趋化性是指微生物或者细胞在所处的环境中由于受到某种化学信号物质的刺激而做定向运动。因此生物学中很多现象可以由Keller-Segel模型来加以解释。本文主要考虑了Keller-Segel模型解的整体存在性以及渐近行为。
　　本文分为以下六个章节：
　　第一章，绪论。主要介绍本文所考虑问题的实际背景和国内外发展现状，同时简要的陈述本文的主要工作。
　　第二章，我们考虑了带有logistic源的拟线性抛物-椭圆Keller-Segel模型，当细胞扩散指数大于2-2/n或者扩散指数小于2-2/n但logistic源阻尼系数充分大的时候，我们得到了模型存在整体经典解并且一致有界；当扩散指数小于2-2/n且对于
　　所有正的logistic源阻尼系数，模型存在弱解。此外，对于特殊的logistic源，我们还考虑了模型解的渐近行为。
　　第三章，我们考虑了带有logistic源的抛物-抛物Keller-Segel模型。对于线性扩散的情况，我们利用构造权函数的方法得到了模型解的整体解存在并且一致有界性；对于拟线性的情况，我们利用能量方法证明了扩散函数和趋化敏感度函数在满足一定的条件下，模型存在整体解并且一致有界。
　　第四章，我们考虑了化学信号物质被消耗掉的拟线性抛物-抛物Keller-Segel模型，这种模型的化学信号物质不再由细胞或者细菌产生，而是被他们消耗掉，例如，好氧细菌向氧气浓度高的地方运动。利用能量方法我们得到了当扩散指数大于2-2/n，模型的解整体存在并且一致有界；进一步的，我们构造Lyapunov泛函，得到了当扩散指数大于2-6/n+4，其中n≥3，模型的解整体存在但不一定有界。
　　第五章，我们考虑了带有logistic源且化学信号物质被消耗掉的Keller-Segel模型。首先我们改进Gargliardo-Nirenberg插值不等式，得到了不带logistic源的Keller-Segel模型解整体存在且一致有界的条件；其次，利用Maximal Sobolev Regularit原理，我们给出了扩散函数，趋化敏感度函数和logistic源满足一定条件从而使得模型解整体存在且一致有界。对于线性扩散Keller-Segel模型我们利用构造权函数的方法证明了如果||vo||L∞(Ω)充分小解整体存在并且一致有界。
　　第六章，主要总结了本文的主要内容，同时对今后研究问题的做出了展望。

目录

封面

中文摘要

英文摘要

目录

1 绪 论

1.1 问题的研究背景和发展现状

1.2 本文内容介绍

2 带有logistic源抛物-椭圆Keller-Segel模型

2.1 问题的提出及主要结果

2.2 部分重要的引理

2.3 整体有界性

2.4 弱解存在性

2.5 渐进行为

3 带有logistic源的抛物-抛物Keller-Segel模型

3.1 问题的提出和主要结果

3.2 预备知识

3.3 定理3.1.1的证明

3.4 定理3.1.2的证明

4 化学信号物质被消耗的Keller-Segel模型

4.1 研究背景与主要结果

4.2 基本的引理

4.3 整体有界性

4.4 整体解的存在性

5 带有logistic源且化学信号物质被消耗的Keller-Segel模型

5.1研究背景与主要结果

5.2 部分重要的引理

5.3 证明定理5.1.1

5.4 证明定理5.1.2

5.5 证明定理5.1.3

5.6 证明定理5.1.4

6 结论与展望

致谢

参考文献

附录

A 作者在攻读博士学位期间发表的论文

B 作者在攻读博士学位期间参加科研项目