全实伪脐子流形,Wulff-Ros等周不等式与Orlicz-Brunn-Minkowski型不等式

摘要

本学位论文主要研究了子流形的Pinching问题，Wulff流,Lp-Brunn-Minkowski理论，对偶Lp-Brunn-Minkowski理论，Orlicz-Brunn-Minkowski理论和对偶 Orlicz-Brunn-Minkowski理论.得到了一些内蕴刚性定理，Wulff-Gage等周不等式等号成立的充要条件，Wulff-Ros等周不等式，对偶Orlicz混合均质积分的定义及其相关的对偶Orlicz-Minkowski不等式，对偶Orlicz-Brunn-Minkowski不等式等.这些分别是微分几何，积分几何与凸几何分析领域中的热点问题。
　　在第二章中，我们讨论了复空间形式中具有平行平均曲率向量的全实伪脐子流形Mn的一些性质，采用活动标架法，通过估算子流形第二基本形式模长的平方的Laplacian,利用Hopf极大原理，Stokes定理，通过对伪脐子流形Mn的第二基本形式模长的平方，截面曲率和Ricc曲率加以限制,得到了Mn为全脐子流形的一些内蕴刚性定理.
　　在第三章中，给出了关于欧氏平面R2中的有界凸域K,W的Wulff-Gage不等式的加强形式，即证明了Wulff-Gage不等式等号成立当且仅当K与W位似,得到了名副其实的Wulff-Gage等周不等式.特别地,当W为单位圆盘时,我们可以得到Gage等周不等式的加强形式.利用支撑函数,可以将Wulff-Gage等周不等式写成关于以2n为周期的周期函数的积分不等式，该积分不等式可以看成Wulff-Gage等周不等式所对应的分析不等式.同时,也证明了曲率的Wulff熵等周不等式等号成立当且仅当K与W位似.
　　在第四章中，通过讨论平面卵形区域K+tW的支持函数的一些性质，证明了Wulff-Ros亏格在与W相关的Wulff流下是一个不变量，同时得到了Wulff-Ros等周不等式，找到了Wulff等周亏格与Wulff-Ros等周亏格之间的关系，还给出了Wulff-Ros等周亏格的几个下界估计值,最后还得到Wulff曲率序列积分的循环不等式.
　　在第五章中,主要研究对偶Orlicz-Brunn-Minkowski理论.通过讨论径向Orlicz线性组合，引入了对偶Orlicz混合均质积分的概念，并利用均质积分一阶变分公式得到了对偶Orlicz混合均质积分的积分表达式.建立了关于对偶Orlicz混合均质积分的对偶Orlicz-Minkowski不等式和对偶均质积分关于径向Orlicz线性组合的对偶Orlicz-Brunn-Minkowski不等式，同时还证明了它们的等价性。还得到了对偶Orlicz-Cauchy-Kubota公式.最后，通过继续讨论对偶Orlicz混合均质积分表达式,得到了对偶Orlicz混合均质积分的连续性,唯一性,在一般线性变换下的性质，以及关于对偶Orlicz混合均质积分的循环不等式.
　　在第六章中，重点讨论了Blaschke-Minkowski同态和径向Blaschke-Minkowski同态.建立了凸体的Blaschke-Minkowski同态关于Orlicz线性组合的Orlicz-Brunn-Minkowski不等式，星体的径向Blaschke-Minkowski同态关于径向Orlicz线性组合的对偶Orlicz-Brunn-Minkowski不等式.最后主要研究Lp-Brunn-Minkowski理论和对偶lp-Bru皿-Minkowski理论，通过讨论两凸体关于Blaschke-Minkowski同态的均质积分差函数，两星体关于径向Blaschke-Minkowski同态的对偶均质积分差函数，凸体关于Blaschke-Minkowski同态的均质积分与星体关于径向Blaschke-Minkowski同态的对偶均质积分差函数,得到了相应的&-Brunn-Minkowski不等式和对偶Ip-Brunn-Minkowski不等式.

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中文摘要

英文摘要

第 1 章 绪 论

1.1 研 究的背景

1.2 研 究 的 内 容 与 结 果

1.3 论文 的 结 构 安 排

第2 章复空间形式中具有平行平均曲率向量的全实伪脐子流形

2.1 K?hler 流形

2.2 子流形 的 基 本 公 式

2.3 各 种 子流形的概念

2.4 主要结论的证明

第3 章 W ulff-G age等周不等式的加强形式

3.1 凸集的支撑函数

3.2 Wulff 流

3.3 Wulff-Gage等 周不等式

3.4 Wulff-Gage等 周 不 等 式 的 分 析 形 式

3.5 曲 率 的 Wulff熵 等 周 不 等 式

第4 章 W ulff-Ros等周不等式

4.1 R o s 等周不等式

4.2 Wulff-Ros等 周不等式

4.3 _ 类 弱 的 Wulff曲 率积分 的 等 周 不 等 式

4.4 Wulff曲 率 序列积分不等式

第5 章 对 偶 O r lic z混合均质积分及其性质

5.1 径 向 Orlicz线性组合

5 . 2 对 偶 Orlicz混 合均质积分

5.3 对偶 Orlicz-Brunn-Minkowski 不等式

5.4 对偶 Orlicz-Cauchy-Kubota 公式

5 . 5 对 偶 Orlicz混 合 均 质 积 分 的 性 质

第6 章 Orlicz-Brunn-Minkowski 型不等式

6.1 混 合 体 积 和 对 偶 混 合 体 积

6.2 (径 向 ）Blaschke-Minkowski 同态

6.3 关 于 Blaschke-Minkowski同态的不等式

6.4 关 于 径 向 Blaschke-Minkowski同态的不等式

6.5 均 质 积 分 与 其 对 偶 差 的 Lp-Brunn-Minkowski型不等式

6.6 Lp 混 合 均 质 积 分 与 其 对 偶 差 的 Lp-Minkowski型不等式

6 . 7 对 偶 Orlicz混 合 均 质 积 分 差 的 循 环 不 等 式

结语

1. 子流形

2. Wulff 流

3 . 对偶 Orlicz-Brunn-Minkowski 理论

4. Lp-Brunn-Minkowski 型不等式

参考文献

攻读硕士学位期间完成和发表的学术论文

致谢