We study the following initial-boundary value problem for thenonlocal Whitham equation ut+N(u)+Ku=0, (x,t) ∈R+×R+, u(x,0)=u¯(x), x∈R+,where the nonlinearity is N(u)=uxu and K is thepseudodifferential operator on the half-line of order α satisfying1<α<2 and some dissipative conditions. We prove that if theinitial data are such thatxδu¯∈L1, withδ∈(0,½) and the norm||u¯||X+||xδu¯||(L1) is sufficiently small, whereX={ψ∈(L1),ψ'∈L1;||ψ||x=||ψ||(L1)+||ψx||(L1)<∞}, thenthere exists a unique solution u∈C ([0, +∞);L2)∩C(R+, H1) of the initial-valueproblem (1), where Hk is the Sobolev space with norm||Φ||(Hk)=||(1-∂2x)k/2Φ||(L2). We also study large timeasymptotics of the solutions
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机译：我们针对以下问题研究以下初边值问题
非局部Whitham方程u t + N（u）+ Ku = 0，（x，t）∈R +
×R + ，u（x，0）= u（x），x∈R + ，
非线性为N（u）= u x u且K为
α阶半线上的伪微分算子满足
1 <α<2和一些耗散条件。我们证明，如果
初始数据是这样的
x δu¯∈L 1 ，其中
δ∈（0，½）与范数
|| u ||| X + || x δ u’||（L
1 ）足够小，其中
X = {ψ∈（L 1 ），
ψ'∈L 1 ; ||ψ|| x = ||ψ||（L 1
）+ ||ψ x ||（L 1 ）<∞}，然后
存在唯一解u∈C（[0，+∞）;
初始值的L 2 ）∩C（R + ，H 1 ）
问题（1），其中H k 是具有范数的Sobolev空间
||Φ||（H k ）= ||（1-∂ 2 x
）k /2Φ||（L 2 ）。我们也学习大量时间
解决方案的渐近性
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