概率密度演化方程——历史、进展与应用

摘要

从概率密度演化的基本思想出发，阐述了概率密度演化方程的历史、进展与应用.文中首先剖析和澄清了概率守恒原理的物理意义，论述了概率守恒原理的随机事件描述和状态空间描述,并在此过程中，阐明了概率密度演化与系统物理演化的内在联系，即：系统物理演化构成概率密度演化的内在机制.在此基础上，结合概率守恒原理的两类描述与系统状态的物理演化方程，以与历史上不同的方式重新推导了经典的概率密度演化方程，包括Liouville方程、FPK方程和Dostupov—Pugachev方程，进一步阐明了这些方程的物理意义以及何以不能降阶的原因.进而，结合概率守恒原理的随机事件描述和解耦的系统物理方程，导出了广义概率密度演化方程.分析了广义概率密度演化方程的物理意义，讨论了数值求解方法.以非线性结构随机反应分析、结构动力可靠度与体系可靠度计算和控制系统的概率密度演化分析为例，展示了概率密度演化理论广阔的应用前景.最后，指出了需要进一步研究的问题.