一种应变局部化带内应变场的半子区相关光学测量方法

摘要

本发明提供一种应变局部化带内应变场的半子区相关光学测量方法，采集受载过程中物体一个表面的图像；获得图像上各测点的位移和应变和待测应变局部化带的倾角，在待测应变局部化带的法线方向上布置两条平行测线并布置若干测点；获得同时位于测线上和待测应变局部化带起始边界线上的测点的坐标和位移；在待测应变局部化带内外确定与所述测点间距为测线间隔一半的测点的坐标和位移；计算矩形像素块的应变；获得待测应变局部化带内部的应变场的分布规律。本发明可以较好地测量应变局部化带内的应变场的时空分布规律，测量得到的应变局部化带内的应变分布较为光滑、连续、准确，提高了应变局部化带内部应变场的测量精度，在固体实验力学领域有广泛的应用。

说明书

技术领域

本发明涉及光学测量技术领域，具体涉及一种应变局部化带内应变场的半子区相关光学测量方法。

背景技术

应变局部化是在材料破坏之前观察到的应变集中于狭窄的带状区域的现象。应变局部化出现在宏观裂纹之前，是材料重要的破坏前兆之一。通过研究应变局部化带内部应变场的时空分布规律，有利于深刻认识材料的变形、破坏及失稳机理，并提出各种判据，亦可为有关的解析和数值模型提供必要的基础参数，或用于检验这些模型的正确性。

在过去，通常在应变场云图中获得关于应变局部化带内部应变的时空分布规律。实际上，云图的控制参数(例如，等值线的条数)、测点布置的疏密程度和子区的尺寸等参数都会对上述规律产生影响。目前，在数字图像相关方法的应用中多采用同种子区变形模式，由于应变局部化带内部具有复杂的变形模式，且应变高度集中，而应变局部化带外部的应变分布较为简单，因此，单纯采用同种子区变形模式，通常难以对应变局部化带内部的应变场进行准确测量，至少在应变局部化带边界附近是如此。子区又称为模板，通常是一个正方形的像素块。在数字图像相关方法中，在最开始的图像中选取的以待求点为中心的正方形子区称之为变形前子区或参考子区，在其后的各幅图像中选取的子区尺寸相同的正方形子区称之为目标子区，通过一定的搜索方法，并采用一定的相关系数来评价参考子区和目标子区的相似程度。相似程度用相关系数来确定，相关系数的最小值或最大值代表最相关，进而来确定参考子区中心点的位移和应变。

采用数字图像相关方法，物体平面内变形测量方法主要包括：

1)基于牛顿-拉菲逊(N-R)方法的数字图像相关方法，同时获得物体平面内的位移和应变，但应变计算结果的误差较大；

2)基于中心差分方法的数字图像相关方法，通过对位移场进行中心差分来获得应变场，但位移场中包含的噪声会使应变计算结果的可信度降低。

通常，中心差分方法的应变的计算精度要高于N-R方法的。

发明内容

针对现有技术的不足，本发明提出一种应变局部化带内应变场的半子区相关光学测量方法。

本发明的技术方案如下：

一种应变局部化带内应变场的半子区相关光学测量方法，具体步骤如下：

步骤1、采集受载过程中物体一个表面的图像；

步骤2、利用数字图像相关方法，获得图像上各测点的位移和应变；

步骤3、在应变场的多条应变局部化带中选择一条待测应变局部化带，获得待测应变局部化带的倾角，在待测应变局部化带的法线方向上布置两条平行测线，每条测线上布置若干测点；

步骤4、利用数字图像相关方法，确定待测应变局部化带的两条边界线，任意选择一条作为待测应变局部化带的起始边界线，另外一条作为待测应变局部化带的终止边界线，在每条测线上，获得同时位于测线上和待测应变局部化带起始边界线上的测点的坐标和位移；

步骤5、在每条测线上，在待测应变局部化带之外，确定与步骤4所述测点间距为测线间隔一半的测点的坐标和位移；在待测应变局部化带之内，确定与步骤4所述测点间距为测线间隔一半的测点的坐标；

步骤6、利用位移与应变之间的关系，利用步骤4和步骤5确定的四个测点的位移，计算上述四个测点组成的矩形像素块的应变；

步骤7、构造具有不同应变模式的两个半子区A和B组成的正方形子区，并考虑两个半子区交界线上的应变连续性条件，确定以待测应变局部化带法向为X′轴，以待测应变局部化带切向为Y′轴，以位于待测应变局部化带的起始边界线与一测线的交点为原点O′的直角坐标系X′O′Y′坐标系下的半子区B的应变模式中的常数项b_iB；

步骤8、利用迭代方法，确定X′O′Y′坐标系下的半子区B的应变模式中的一次项系数a_iB；

步骤9、以半子区B作为新的半子区A，重新选择新的半子区B，构成新的正方形子区，利用新半子区A、B的应变连续性条件和迭代方法，确定新的半子区B的应变，不断重复执行步骤9，直到新的半子区B超出待测应变局部化带的终止边界线，即获得待测应变局部化带内部的应变场的分布规律。

所述步骤2，包括：

步骤2.1、任意选定一系列图像，确定选定图像的拍摄时间，设置子区尺寸，建立直角坐标系XOY，X为水平方向，向右为正，Y为垂直方向，向上为正，确定测点数目及各测点在选定的第一张图像上的位置；

步骤2.2、利用数字图像相关方法，计算各测点在除第一张图像外其它各张图像上的位置，根据各测点在第一张图像和其他图像上的位置差，确定各测点在不同时刻的位移，利用位移和应变的关系，获得各测点的应变。

所述步骤3，包括：

步骤3.1、对获得的应变场进行插值，在插值后的应变场的多条应变局部化带中选择一条待测应变局部化带；

步骤3.2、对待测应变局部化带上的应变数据对应的坐标进行线性拟合，获得待测应变局部化带的倾角；

步骤3.3、在第一张图像上，在待测应变局部化带的法线方向上，布置两条与待测应变局部化带的切向相垂直的测线；

步骤3.4、在每条测线上，布置若干测点，以各测点为中心设置子区，子区尺寸取两条测线之间的间距。

所述步骤4，包括：

步骤4.1、利用数字图像相关方法，获得测线上各测点的位移和相关系数；

步骤4.2、根据相关系数在应变局部化带内部和外部的不同特点，确定待测应变局部化带的两条边界线；

步骤4.3、任意选择一条作为待测应变局部化带的起始边界线，另外一条作为待测应变局部化带的终止边界线，在每条测线上，获得同时位于测线上和待测应变局部化带起始边界线上的测点的坐标和位移。

步骤7中所述的半子区A是由在待测应变局部化带之外的与步骤4所述测点间距为测线间隔一半的两个测点和步骤4所述测点组成的矩形像素块，半子区B是由在待测应变局部化带之内的与步骤4所述测点间距为测线间隔一半的两个测点和步骤4所述测点组成的矩形像素块。

步骤7中所述两个半子区交界线上的应变连续性条件是在两个半子区的交界线上应变相等。

所述步骤7，包括：

步骤7.1、以半子区A、半子区B组成正方形子区；

步骤7.2、建立以待测应变局部化带法向为X′轴，以待测应变局部化带切向为Y′轴，以位于待测应变局部化带的起始边界线与一测线的交点为原点O′的直角坐标系X′O′Y′；

步骤7.3、半子区A的应变模式近似为常应变模式，通过应变坐标变换公式将XOY坐标系下的半子区A的应变ε_iA转换成X′O′Y′坐标系下的半子区A的应变ε′_iA；

通过应变坐标变换公式将XOY坐标系下的半子区A的应变ε_iA转换成X′O′Y′坐标系下的应变ε′_iA，ε′_iA＝a_iA，其中，i＝1～3，当i＝1时，ε′_1A代表半子区A在X′方向的线应变，写作ε_X′A＝ε′_1A＝a_1A，a_1A为常数；当i＝2时，ε′_2A代表半子区A在Y′方向的线应变，写作ε_Y′A＝ε′_2A＝a_2A，a_2A为常数；当i＝3时，ε′_3A代表半子区A在X′O′Y′平面内的剪切应变，写作γ_X′Y′A＝ε′_3A＝a_3A，a_3A为常数；

所述的应变坐标变换公式如下：

γ_X′Y′4＝ε′_3A＝ε_XA>YA>XYA>

其中，ε_XA表示坐标系XOY下的半子区A的X方向线应变，ε_YA表示坐标系XOY下的半子区A的Y方向线应变，γ_XYA表示坐标系XOY下的半子区A的剪切应变，θ表示待测应变局部化带的倾角；ε_X′A＝ε′_1A，两者都表示坐标系X′O′Y′下的半子区A的X′方向线应变，ε_Y′A＝ε′_2A，两者都表示坐标系X′O′Y′下的半子区A的Y′方向线应变，γ_X′Y′A＝ε′_3A，两者都表示坐标系X′O′Y′下的半子区A的剪切应变；

步骤7.4、半子区B的应变模式近似为线性应变模式，考虑两个半子区交界线上的应变连续性条件，确定X′O′Y′坐标系下的半子区B的应变模式中的常数项b_iB；

半子区B的应变模式近似为线性应变模式：ε′_iB＝a_iBX′_B+b_iB，其中，X′_B表示X′O′Y′坐标系下的半子区B内任一点沿X′轴方向的坐标，a_iB表示一次项系数，b_iB表示常数项，a_iB和b_iB同为常数，i＝1～3，当i＝1时，ε′_1B代表半子区B在X′方向的线应变，写作ε_X′B＝ε′_1B＝a_1BX_′B+b_1B；当i＝2时，ε′_2B代表半子区B在Y′方向的线应变，写作ε_Y′B＝ε′_2B＝a_2BX′_B+b_2B；当i＝3时，ε′_3B代表半子区B在X′O′Y′平面内的剪切应变，写作γ_X′Y′B＝ε′_3B＝a_3BX′_B+b_3B；

根据两个半子区交界线上的应变连续性条件：当两个半子区交界线位于待测应变局部化带的起始边界线上时，即X′_B＝0，则ε′_iB＝b_iB＝ε′_iA＝a_iA，由此得到X′O′Y′坐标系下的半子区B的应变模式中的常数项biB。

有益效果：

本发明提出的一种应变局部化带内应变场的半子区相关光学测量方法，明显优于基于中心差分方法的数字图像相关方法，可以较好地测量应变局部化带内的应变场的时空分布规律，测量得到的应变局部化带内的应变分布较为光滑、连续、准确，提高了应变局部化带内部应变场的测量精度，在固体实验力学领域有广泛的应用。

附图说明

图1为本发明一种实施例的应变局部化带内应变场的半子区相关光学测量方法流程图；

图2为本发明一种实施例的应变局部化带内应变场的半子区相关光学测量方法原理图；

图中，1、2为垂直于应变局部化带切向的测线，3、4为应变局部化带的边界线，5为同时位于应变局部化带的边界线3和测线1上的测点，6为同时位于应变局部化带的边界线3和测线2上的测点，7为在应变局部化带之外且与测点5间距为测线间隔一半的测点，8为在应变局部化带之外且与测点6间距为测线间隔一半的测点，9为在应变局部化带之内且与测点5间距为测线间隔一半的测点，10为在应变局部化带之内且与测点6间距为测线间隔一半的测点，11为应变局部化带，在直角坐标系XOY中，X为水平方向，向右为正，Y为垂直方向，向上为正；在直角坐标系X′O′Y′中，X′为应变局部化带法向，Y′为应变局部化带切向，原点O′与应变局部化带的边界上测点5重合；

图3为本发明一种实施例的制作的剪切过程中试样表面的图像示意图，图中，(a)为第一张图像，在直角坐标系X′O′Y′中，原点O′与坐标系XOY中点(x₀，y₀)重合；(b)为第二张图像；

图4为本发明一种实施例的采用中心差分方法获得的剪切应变场云图；

图5为本发明一种实施例的测线1上的相关系数分布图，测线1上相关系数发生突变的两个位置是12和13；

图6为本发明一种实施例的在X′O′Y′坐标系下的三种剪切应变γ_X′Y′结果对比图；

图7为本发明一种实施例的在X′O′Y′坐标系下的三种垂直线应变ε_Y′结果对比图；

图8为本发明一种实施例的在X′O′Y′坐标系下的三种水平线应变ε_X′结果对比图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式做详细说明。

本实施方式的应变局部化带内应变场的半子区相关光学测量方法，如图1所示，图2为本发明的应变局部化带内应变场的半子区相关光学测量原理图，具体步骤如下：

步骤1、采集受载过程中物体一个表面的图像；

对于实际工程结构或实验室中物理模型，采用拍摄设备采集受载过程中实际工程结构表面或实验室中物理模型表面图像。为了定量检验本发明方法的准确性，应对有应变场理论解的应变局部化带进行测量；为此，首先，利用模拟散斑图的制作方法(Zhou P，Goodson K E，Subpixel displacement and deformation gradient measurement using digital image/speckle correlation[J].Optical Engineering，2001，40(8)：1613-1620)，制作如图3(a)所示的模拟散斑图，建立直角坐标系XOY，X代表水平方向，向右为正，Y代表垂直方向，向上为正；然后，采用仿射变换和基于梯度塑性理论的剪切带内部理论解析(王学滨，潘一山，马瑾.剪切带内部应变(率)分析及基于能量准则的失稳判据[J].工程力学，2003，20(2)：101-105)，在图3(a)中，生成模拟的垂直应变局部化带，如图3(b)所示，图3(a)～(b)即为受载过程中物体变形前、后一个表面的图像；

所述的梯度塑性理论为：

其中，是平均塑性剪切应变；X是在坐标系XOY下的水平坐标，X₁是在坐标系XOY下垂直应变局部化带中线的位置，X₁＝74像素；ω是应变局部化带的宽度；图3(b)中的应变局部化带宽度ω＝60像素，平均塑性剪切应变

步骤2、利用数字图像相关方法，获得图像上各测点的位移和应变；

所述步骤2，包括：

步骤2.1、任意选定一系列图像，确定选定图像的拍摄时间，设置子区尺寸，建立直角坐标系XOY，X为水平方向，向右为正，Y为垂直方向，向上为正，确定测点数目及各测点在选定的第一张图像上的位置，选定的图像如图3(a)～(b)所示，子区尺寸为31×31像素，测点数目为149×79；

步骤2.2、利用数字图像相关方法，计算各测点在除第一张图像外其它各张图像上的位置，根据各测点在第一张图像和其他图像上的位置差，确定各测点在不同时刻的位移，利用位移和应变的关系，获得各测点的应变，本发明实施例通过中心差分方法获得剪切应变场，如图4所示。

步骤3、在应变场的多条应变局部化带中选择一条待测应变局部化带，获得待测应变局部化带的倾角，在待测应变局部化带的法线方向上布置两条平行测线，每条测线上布置若干测点；

所述步骤3，包括：

步骤3.1、对获得的应变场进行插值，在插值后的应变场的多条应变局部化带中选择一条待测应变局部化带；

步骤3.2、对待测应变局部化带上的应变数据对应的坐标进行线性拟合，获得待测应变局部化带的倾角，本实施例的垂直应变局部化带倾角θ＝90°；

步骤3.3、在第一张图像上，在待测应变局部化带11的法线方向上，布置两条与待测应变局部化带的切向相垂直的测线1和2，测线间隔Δ为3像素，如图3(a)所示；

步骤3.4、在每条测线上，布置149个测点，以各测点为中心设置子区，子区尺寸取两条测线之间的间距，子区尺寸为3像素。

步骤4、利用数字图像相关方法，确定待测应变局部化带的两条边界线，任意选择一条作为待测应变局部化带的起始边界线，另外一条作为待测应变局部化带的终止边界线，在每条测线上，获得同时位于测线上和待测应变局部化带起始边界线上的测点的坐标和位移；

所述步骤4，包括：

步骤4.1、利用数字图像相关方法，获得测线上各测点的位移和相关系数；测线1上的相关系数分布图，如图5所示；

步骤4.2、根据相关系数在应变局部化带内部和外部的不同特点，确定待测应变局部化带的两条边界线；

所述的相关系数在应变局部化带内部和外部的不同特点是：应变局部化带内部和外部的相关系数通常有明显的差异，容易确定出相关系数发生突变的两个位置，如图5中所示的位置12和13，位置12的水平坐标40像素，位置13的水平坐标114像素。为了保守起见，将发生突变的两个位置各向应变局部化带内移Δ/2像素，即1.5像素，如图5中所示的位置3和4，位置3的水平坐标为41.5像素，位置4的坐标为112.5像素，这是由于在理论上当子区的边界与应变局部化带的边界刚好重合时，相关系数处于临界值，为了获得更为准确的应变局部化带的边界线3和4，如图3(a)所示，因此向内各移Δ/2像素；

步骤4.3、任意选择一条边界线作为待测应变局部化带的起始边界线，另外一条边界线作为待测应变局部化带的终止边界线，在每条测线上，获得同时位于测线上和待测应变局部化带起始边界线上的测点的坐标和位移，本实施例中，选择边界线3作为起始边界线，选择边界线4作为终止边界线，获得同时位于测线1和应变局部化带起始边界线3上测点5的坐标和位移，获得同时位于测线2和应变局部化带起始边界线3上测点6的坐标和位移，如图3(a)所示。

步骤5、在每条测线上，在待测应变局部化带之外，确定与步骤4所述测点间距为测线间隔一半的测点的坐标和位移；在待测应变局部化带之内，确定与步骤4所述测点间距为测线间隔一半的测点的坐标；本实施例中，在测线1上，在应变局部化带之外，确定与测点5间距为测线间隔一半的测点7的坐标和位移，在测线2上，在应变局部化带之外，确定与测点6间距为测线间隔一半的测点8的坐标和位移，如图3(a)所示；在测线1上，在应变局部化带之内，确定与测点5间距为测线间隔一半的测点9的坐标，在测线2上，在应变局部化带之内，确定与测点6间距为测线间隔一半的测点10的坐标，如图3(a)所示。

步骤6、利用位移与应变之间的关系，利用步骤4和步骤5确定的四个测点5、6、7和8的位移，计算上述四个测点组成的矩形像素块的应变；所述的位移与应变之间的关系是位移的坐标导数是应变。

步骤7、构造具有不同应变模式的两个半子区A和B组成的正方形子区，并考虑两个半子区交界线上的应变连续性条件，确定以待测应变局部化带法向为X′轴，以待测应变局部化带切向为Y′轴，以位于待测应变局部化带的起始边界线与一测线的交点为原点O′的直角坐标系X′O′Y′坐标系下的半子区B的应变模式中的常数项b_iB；

所述的半子区A是由在待测应变局部化带之外的与步骤4所述测点间距为测线间隔一半的两个测点和步骤4所述测点组成的矩形像素块，半子区B是由在待测应变局部化带之内的与步骤4所述测点间距为测线间隔一半的两个测点和步骤4所述测点组成的矩形像素块。

所述两个半子区交界线上的应变连续性条件是在两个半子区的交界线上应变相等。

所述步骤7，包括：

步骤7.1、以半子区A、半子区B组成正方形子区；以待测应变局部化带之外的两个测点和待测应变局部化带起始边界线上的两个测点组成的矩形像素块作为一个半子区A，如图3(a)中所示的测点5、6、7和8组成半子区A，以待测应变局部化带之内的两个测点和待测应变局部化带起始边界线上的两个测点组成的矩形像素块作为一个半子区B，如图3(a)中所示的测点5、6、9和10组成半子区B，两个半子区A、B构成一个正方形子区；

步骤7.2、建立以待测应变局部化带法向为X′轴，以待测应变局部化带切向为Y′轴，以位于待测应变局部化带的起始边界线与一测线的交点为原点O′的直角坐标系X′O′Y′；

步骤7.3、半子区A的应变模式近似为常应变模式，通过应变坐标变换公式将XOY坐标系下的半子区A的应变ε_iA转换成X′O′Y′坐标系下的半子区A的应变ε′_iA；

通过应变坐标变换公式将XOY坐标系下的半子区A的应变ε_iA转换成X′O′Y′坐标系下的应变ε′_iA，ε′_iA＝a_iA，其中，i＝1～3，当i＝1时，ε′_1A代表半子区A在X′方向的线应变，写作ε_X′A＝ε′_1A＝a_1A，a_1A为常数；当i＝2时，ε′_2A代表半子区A在Y′方向的线应变，写作ε_Y′A＝ε′_2A＝a_2A，a_2A为常数；当i＝3时，ε′_3A代表半子区A在X′O′Y′平面内的剪切应变，写作γ_X′Y′A＝ε′_3A＝a_3A，a_3A为常数；

所述的应变坐标变换公式如下：

γ_X′Y′A＝ε′_3A＝ε_XA>YA>XYA>

其中，ε′_XA表示坐标系XOY下的半子区A的X方向线应变，ε_YA表示坐标系XOY下的半子区A的Y方向线应变，γ_XYA表示坐标系XOY下的半子区A的剪切应变，θ表示待测应变局部化带的倾角；ε_X′A＝ε′_1A，两者都表示坐标系X′O′Y′下的半子区A的X′方向线应变，ε_Y′A＝ε′_2A，两者都表示坐标系X′O′Y′下的半子区A的Y′方向线应变，γ_X′Y′A＝ε′_3A，两者都表示坐标系X′O′Y′下的半子区A的剪切应变；

步骤7.4、半子区B的应变模式近似为线性应变模式，考虑两个半子区交界线上的应变连续性条件，确定X′O′Y′坐标系下的半子区B的应变模式中的常数项b_iB；

半子区B的应变模式近似为线性应变模式：ε′_iB＝a_iBX′_B+b_iB，其中，X′_B表示X′O′Y′坐标系下的半子区B内任一点沿X′轴方向的坐标，a_iB表示一次项系数，b_iB表示常数项，a_iB和b_iB同为常数，i＝1～3，当i＝1时，ε′_1B代表半子区B在X′方向的线应变，写作ε_X′B＝ε′_1B＝a_1BX′_B+b_1B；当i＝2时，ε′_2B代表半子区B在Y′方向的线应变，写作ε_Y′B＝ε′_2B＝a_2BX′_B+b_2B；当i＝3时，ε′_3B代表半子区B在X′O′Y′平面内的剪切应变，写作γ_X′Y′B＝ε′_3B＝a_3BX′B+b_3B；

根据两个半子区交界线上的应变连续性条件：当两个半子区交界线位于待测应变局部化带的起始边界线上时，即X′_B＝0，则ε′_iB＝b_iB＝ε′_iA＝a_iA，由此得到X′O′Y′坐标系下的半子区B的应变模式中的常数项b_iB。

步骤8、利用迭代方法，确定X′O′Y′坐标系下的半子区B的应变模式中的一次项系数a_iB；

步骤9、以半子区B作为新的半子区A，重新选择新的半子区B，构成新的正方形子区，利用新半子区A、B的应变连续性条件和迭代方法，确定新的半子区B的应变，不断重复执行步骤9，直到新的半子区B超出待测应变局部化带的终止边界线，即获得待测应变局部化带内部的应变场的分布规律，如图6～图8所示。

本发明实施例中，图6为本发明一种实施例的在X′O′Y′坐标系下的三种剪切应变γ_X′Y′结果对比图，其中实线代表理论解，虚划线代表本发明方法的结果，点划线代表中心差分方法的结果。图7为本发明一种实施例的在X′O′Y′坐标系下的三种垂直线应变ε_Y′结果对比图，其中实线代表理论解，虚划线代表本发明方法的结果，点划线代表中心差分方法的结果。图8为本发明一种实施例的在X′O′Y′坐标系下的三种水平线应变ε_X′结果对比图，其中实线代表理论解，虚划线代表本发明方法的结果，点划线代表中心差分方法的结果。表1为本发明一种实施例的待测应变局部化带内的3种结果的对比表及应变分布的误差的标准差的2种结果的对比表。

表1待测应变局部化带内3种结果的对比表及应变分布误差的标准差的2种结果的对比表

由图6可以发现，采用本发明方法获得的剪切应变与理论解最为接近，采用本发明方法获得的剪切应变曲线较为圆滑，而采用中心差分方法获得的剪切应变曲线波动较大，与理论解相差较大。由表1可以发现，(1)在待测应变局部化带的中心处，采用本发明方法获得的剪切应变为-0.5142，与理论值-0.5000相差0.0142，而采用中心差分方法获得的剪切应变为-0.4086，与理论值-0.5000相差0.0914；(2)采用中心差分方法获得待测应变局部化带内的剪切应变分布的误差的标准差达到了0.0625，而本发明方法的误差的标准差为0.0176。

由图7可以发现，相比采用本发明方法获得的垂直线应变，采用中心差分方法获得的垂直线应变波动更大；由表1可以发现，采用中心差分方法获得的垂直线应变分布的误差的标准差达到了0.0180，而采用本发明方法获得的垂直线应变分布的误差的标准差仅为0.0044。

由图8可以发现，相比采用本发明方法获得的水平线应变，采用中心差分方法获得的水平线应变波动更大；由表1可以发现，采用中心差分方法获得的水平线应变分布的误差的标准差达到了0.0416，而采用本发明方法获得的水平线应变分布的误差的标准差仅为0.0090。

由图6～图8可以发现，采用本发明方法获得的应变与理论解较为接近，而采用中心差分方法获得的应变与理论值偏差较大，这说明本发明方法的计算精度高于中心差分方法的计算精度。