对称性分析和适应控制在参数激励单摆模型和Helmholtz-Duffing振子中的应用

摘要

本文首先应用非线性动力系统中的分岔和混沌理论，研究一个包含偏项(biasterm)的参数激励单摆模型对称性破缺的影响。其次，给出了采用简单的适应反馈方法对Helmholtz-Duffing振子出现混沌现象进行控制的一些结果。最后，对本文所做的工作进行了总结。 全文共包括四章。 第一章，介绍与本文有关的非线性动力系统方面的知识，例如：Poincaré映射、中心流形定理、Melnikov方法、分岔理论和混沌理论、以及对本文中所用到的一个数值模拟软件Dynamics进行了简单的介绍。 第二章，分析了一个包含偏项的参数激励单摆模型对称性破缺的影响。首先，定性分析和数值模拟显示未扰动单摆(无阻尼，未受迫)安全区域(由同宿轨或异宿轨所围成的内部区域)的面积将随着偏项的增大而减小。由于偏项的影响，扰动单摆的临界同宿分岔值将增加，且在Poincaré映射中稳定和不稳定流形之间发生同宿横截相交的区域将增大。第二，随着偏项的增大，定性和定量分析表明Poincaré映射的吸引子数量和类型、相轨迹、吸引盆以及分岔图将产生巨大的变化。尤其，一旦当偏项超过一个临界值的时候，参数激励单摆的稳定性将失去。在这种情形中，不再存在任何稳定的状态。这些结果建议要保持系统的稳定性，应该更加关注于控制偏项的增加上，尤其当参数激励单摆模型作为一种主要的组成部分应用到一些实际系统中的时候。 第三章，应用一种简单的适应反馈控制方法到具有不同的左右同宿分岔值的非对称：Helmholtz-Duffing振子上。首先，分析了未扰动Helmholtz-Duffing振子对于不同对称参数值的不动点和左右同宿轨的情况；进而利用 Melnikov方法分析了扰动后的Helmholtz-Duffing振子的同宿分岔；最后，加入适应反馈控制项，通过Melnikov方法和数值模拟，并应用数值模拟软件Dynamics分别从吸引盆和相应的最大Lyapunov指数方面，证实了这种控制方法的有效性。 第四章，对全文进行总结。

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文摘

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致谢

1引言及背景知识

1.1非线性动力系统

1.1.1 Poincaré映射

1.1.2中心流形定理

1.1.3局部分岔理论

1.1.4 Melnikov方法

1.1.5全局分岔理论

1.2非线性动力系统的混沌理论

1.2.1混沌的定义

1.2.2混沌的基本特征

1.2.3分析时间混沌的主要方法

1.2.4通向混沌的道路

1.2.5混沌控制

1.3数值模拟软件《Dynamics：Numerical Explorations》

1.3.1 Dynamics性能的概述

1.3.2 Dynamics高级性能的概述

2参数激励单摆模型对称性破缺的影响

2.1引言

2.2未扰动系统中偏项的影响

2.3同宿分岔中偏项的影响

2.4吸引子类型中偏项的影响

2.4.1吸引子中偏项的影响

2.4.2分岔分析中偏项的影响

2.5结论

3对Helmholtz-Duffing振子简单的适应反馈控制

3.1引言

3.2未扰动Helmholtz-Duffing振子的分析

3.3扰动Helmholtz-Duffing振子的Melnikov分析

3.4系统(3.2)中同宿分岔的适应反馈控制

3.5数值模拟

3.6结论

4结论

参考文献

附录