一种基于魏尔斯特拉斯函数的图像置乱方法

摘要

一种基于魏尔斯特拉斯函数的图像置乱方法，属于数字图像处理领域。图像正置乱过程如下：先将待置乱图像IMAGE的八个位平面按照某种方式进行交换，改变图像的像素灰度值，得到图像Image；将Image转换为一维结构fig，按照此一维结构fig的长度设置魏尔斯特拉斯函数的变量值及参数值，并按照公式求得魏尔斯特拉斯函数的函数值y，再将魏尔斯特拉斯函数的函数值y按照升序排序，然后根据排序结果对fig序列进行位置调整，这样就可以将fig置乱成h序列，最后将h序列进行升维操作，转化为待置乱图像IMAGE一样的大小，即可得到置乱后的图像FIG。本方法置乱比较稳定且置乱度相对较高；置乱的通用性强，安全性好；置乱恢复的图像无损失；并且有一定的抗攻击能力。

说明书

技术领域

本发明涉及一种基于魏尔斯特拉斯函数的图像置乱方法，是一种 信息隐藏预处理方法和图像加密手段，属于数字图像处理领域。

背景技术

近年来，数字图像因其固有的传输与存储的方便性而得到了蓬勃 发展，同时由于数字图像的复制、处理以及传播简单容易，也给很多 行业带来了极大商机与利益。但在传输的数字图像数据中，很多是要 求保密的，不管是法律要求加密还是个人隐私不容侵犯，数字图像的 安全性越来越受到社会的关注与重视。数字图像置乱技术就是在这种 需求下应运而生的，得到了迅速的研究和发展，并越来越多的应用到 实际中。已有并广为应用的置乱方法很多，如Arnold变换、Hilbert方 法、骑士巡游变换、元胞自动机方法、幻方变换、仿射变换以及生命 游戏变换等等，但这些方法各有优缺点，应用是要根据实际环境进行 选择，而且有的方法置乱需要花费较多时间，效率较低；有的方法对 图像尺寸有限制，通用性不好；还有许多方法存在周期性，这使得方 法安全性较低，达不到保密的要求。

已有图像置乱方法层出不穷，但存在的问题颇多，特别是典型的 周期性恢复的安全问题应受到重视，因此研究一种简单且安全性较高 的置乱方法颇具有挑战性。

发明内容

为了解决上述存在的技术问题，本发明提供一种基于魏尔斯特拉 斯函数的图像置乱方法，该置乱方法实现简单，安全性好，置乱度较 高，通用性较好，并且能抵抗一定的攻击，可以较好的用于信息隐藏 的预处理和图像加密，而且可以满足数字图像加密和隐藏的鲁棒性要 求。

本发明的目的是通过下述技术方案实现的：1、一种基于魏尔斯 特拉斯函数的图像置乱方法，其特征在于：包括图像正置乱和逆置 乱两部分；

所述图像正置乱过程如下：

设待置乱图像为IMAGE、迭代次数为cycle，魏尔斯特拉斯函 数的变量值为x，参数值为a、b，输出的置乱后的图像为FIG；

通过对待置乱图像IMAG进行位平面交换以及魏尔斯特拉斯函 数的函数值序列调整待置乱图像的位置，从而得到置乱后的图像；具 体过程如下：

1）定义迭代次数cycle=k；

2）将待置乱图像IMAGE的八个位平面按照用户选择的位平面 交换方式进行变换，得到图像Image；

3）一次迭代开始：将Image转换为一维结构fig；按照fig的 长度选取函数中自变量x的取值，设置满足魏尔斯特拉斯函数 的ab>1+3×π/2参数值a和b，按照魏尔斯特拉斯函数公式求 和，得到函数值y，将所得到魏尔斯特拉斯函数值y进行升序 排序，结果为index，按照排序结果index，对图像一维化后的 fig序列依次调整位置，即进行置乱成h序列；将置乱序列h 进行升维成待置乱图像IMAGE大小的图像Fig，并将结果赋值 给Image，则一次迭代结束；

4）如果cycle不等于k，说明迭代次数未完成，转到步骤3） 继续迭代，直到迭代次数为k，此时得到的Fig输出为FIG，FIG 即为置乱后图像；至此，正置乱迭代结束，即正置乱过程结束；

正置乱在置乱密钥的前提下得到了置乱后的图像FIG，从FIG中看 不到原始图像的任何信息，FIG置乱效果好，保证了原始信息的安全 性。

图像的逆置乱过程如下：

设待恢复置乱的图像FIG和迭代次数cycle以及魏尔斯特拉斯函 数的变量值x和参数值a、b，所述的cycle、x、a、b与正置乱的参数 值相同，一个输出为置乱恢复的图像OUT；根据得到的置乱图像，按 照正置乱的逆过程进行置乱图像的恢复。

1）定义迭代次数cycle=k；

2）一次迭代开始：将置乱图像FIG转换为一维结构out；根据 正置乱排序结果index，对图像一维化后的out序列进行逆调 整，得到逆置乱序列g；将逆置乱序列g进行升维成置乱图像 FIG大小的图像Out，并将结果赋值给FIG，则一次迭代结束；

3）如果cycle不等于k，说明迭代次数未完成，转到步骤2） 继续迭代，直到迭代次数为k，则逆置乱迭代结束；

4）对Out进行正置乱过程中位平面交换方式的逆变换，结果 为OUT，即得到置乱恢复图像OUT，至此，逆置乱过程结束。

在置乱密钥的前提下，经逆置乱过程恢复的图像OUT与原始图像 无丝毫差别，达到完全恢复原始图像的目的。

本发明的有益效果：本发明采用上述方案，通过对待置乱图像进 行位平面交换以及魏尔斯特拉斯函数的函数值序列调整待置乱图像 的位置，实现了对待置乱图像的置乱。本发明所采用的方法包括图像 正置乱过程和图像逆置乱过程两大部分，第一部分是图像的正置乱过 程：有五个输入为待置乱图像IMAGE、迭代次数cycle以及魏尔斯特 拉斯函数的变量值x和参数值a、b，一个输出为置乱后的图像FIG； 过程是通过对待置乱图像进行位平面交换以及魏尔斯特拉斯函数的 函数值序列调整待置乱图像的位置，从而得到置乱后的图像。（1）定 义迭代次数cycle=k；（2）将待置乱图像的八个位平面按照用户选择 的位平面交换方式进行变换，得到图像Image；（3）一次迭代开始： 将Image转换为一维结构fig；按照fig的长度选取魏尔斯特拉斯函数 中自变量x的取值，设置满足魏尔斯特拉斯函数的ab>1+3×π/2参数 值a和b，按照魏尔斯特拉斯函数公式求和，得到函数值y，将所得 到魏尔斯特拉斯函数值y进行升序排序，结果为index，按照排序结 果index，对图像一维化后的fig序列依次调整位置，即进行置乱成h 序列；将置乱序列h进行升维成待置乱图像IMAGE大小的图像Fig， 并将结果赋值给Image，则一次迭代结束；（4）如果cycle不等于k， 说明迭代次数未完成，转到步骤（3）继续迭代，直到迭代次数为k， 此时得到的Fig输出为FIG，FIG即为置乱后图像；至此，正置乱迭代 结束，即正置乱过程结束。正置乱在置乱密钥的前提下得到了置乱后 的图像FIG，从FIG中看不到原始图像的任何信息，FIG置乱效果好， 保证了原始信息的安全性。第二部分是图像的逆置乱，即置乱图像的 恢复。有两个输入为置乱的图像FIG和迭代次数cycle以及魏尔斯特 拉斯函数的变量值x和参数值a、b（这里的cycle、x、a、b与正置乱 的相同），一个输出为置乱恢复的图像OUT；根据得到的置乱图像， 按照正置乱的逆过程进行置乱图像的恢复。（1）定义迭代次数cycle=k； （2）一次迭代开始：将置乱图像FIG转换为一维结构out；根据正置 乱排序结果index，对图像一维化后的out序列进行逆调整，得到逆 置乱序列g；将逆置乱序列g进行升维成置乱图像FIG大小的图像Out， 并将结果赋值给FIG，则一次迭代结束；（3）如果cycle不等于k，说 明迭代次数未完成，转到步骤（2）继续迭代，直到迭代次数为k， 则逆置乱迭代结束；（4）对Out进行正置乱过程中位平面交换方式 的逆变换，结果为OUT，即得到置乱恢复图像OUT，至此，逆置乱过 程结束。在置乱密钥的前提下，经逆置乱过程恢复的图像OUT与原 始图像无丝毫差别，达到完全恢复原始图像的目的。

本发明利用位平面交换的方式以及魏尔斯特拉斯函数的函数值 序列调整待置乱图像的位置，实现了对图像的置乱，并得到了无损失 的置乱恢复图像，且置乱图像能抵抗一定的几何攻击。

由于本发明是一种魏尔斯特拉斯函数的图像置乱方法，方法是按 通过对待置乱图像进行位平面交换以及魏尔斯特拉斯函数的函数值 序列调整待置乱图像的位置，从而改变待置乱图像的像素坐标位置， 而且方法实现简单，解决了已有方法实现效率低等问题。

本发明提出的置乱方法引入的置乱密钥较多，如：位平面交换方 式，魏尔斯特拉斯函数中的变量值x、参数值a和b，以及置乱次数 cycle；密钥空间较大，这大大提高了置乱方法的安全性，解决了已有 置乱方法周期性恢复的安全性问题。

本发明提出的方法是按照魏尔斯特拉斯函数的函数值大小来改 变待置乱图像的像素坐标位置的，要操作的元素是按照一维逻辑结构 进行存储的，即本方法适对图像尺寸没有要求，因此该发明对图像的 通用性较强。

本发明方法能抵抗一定的几何攻击，且恢复图像的可读性不受影 响，可以较好的用于信息隐藏的预处理和图像加密，而且可以满足数 字图像加密和隐藏的鲁棒性要求。

附图说明

图1（a）是标准lena原始图像。

图1（b）是标准lena图经本方法置乱后的图。

图1（c）是标准lena图置乱后的恢复图。

图1（d）是宽矩形lena图。

图1（e）是宽矩形lena图经本方法置乱后的图。

图1（f）是宽矩形lena图置乱后的恢复图。

图1（g）是高矩形lena图。

图1（h）是高矩形lena图经本方法置乱后的图。

图1（i）是高矩形lena图置乱后的恢复图。

图2是用灰度值连续置乱度评价方法对本方法的置乱程度进行的评 价曲线图。

图3（a）是标准lena原始图像。

图3（b）是标准lena图经本方法置乱后的图。

图3（c）标准lena原始图像的直方图。

图3（d）置乱图像的直方图。

图4（a）是本方法经过加入噪声密度为0.06的椒盐噪声攻击后的置 乱图像。

图4（b）是本方法经过加入噪声密度为0.06的椒盐噪声攻击后的恢 复图像。

图4（c）是本方法经过高斯低通滤波攻击后的置乱图像。

图4（d）是本方法经过高斯低通滤波攻击后的恢复图像。

图5为将[-1,1]间等分131072个点作为自变量的魏尔斯特拉斯函数图 形。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步说明：

以下从理论基础进行说明：

1）魏尔斯特拉斯函数

在数学中,魏尔斯特拉斯函数(魏尔斯特拉斯function)是一类处 处连续而处处不可导的实值函数。魏尔斯特拉斯函数是一种无法用笔 画出任何一部分的函数，因为每一点的导数都不存在，画的人无法知 道每一点该朝哪个方向画。魏尔斯特拉斯函数的每一点的斜率也是不 存在的。魏尔斯特拉斯函数得名于十九世纪的德国数学家卡尔·魏尔 斯特拉斯(Karl Theodor Wilhelm魏尔斯特拉斯;1815–1897)。

历史上，魏尔斯特拉斯函数是一个著名的数学反例。魏尔斯特拉 斯之前，数学家们对函数的连续性认识并不深刻。许多数学家认为除 了少数一些特殊的点以外，连续的函数曲线在每一点上总会有斜率。 魏尔斯特拉斯函数的出现说明了所谓的“病态”函数的存在性，改变了 当时数学家对连续函数的看法。

魏尔斯特拉斯的原作中给出的构造是：

$f\left(x\right)={\Sigma }_{n=0}^{\infty }{a}^n\cos \left(b^n\mathrm{\pi x}\right)---\left(1\right)$

其中0<a<1,b为正的奇数，使得：

$\mathrm{ab}>1+\frac{3}{2}\pi ---\left(2\right)$

这个函数以及它处处连续而又处处不可导的证明首次出现在魏 尔斯特拉斯于1872年6月18日在普鲁士科学院出版的一篇论文中。

证明这个函数处处连续并不困难。由于无穷级数的每一个函数项 aⁿcos(bⁿπx)的绝对值都小于常数aⁿ，而正项级数是收敛的。由比 较审敛法可以知道原级数一致收敛。因此，由于每一个函数项 aⁿcos(bⁿπx)都是R上的连续函数，级数和f(x)也是R上的连续函数。

下面证明函数处处不可导：对一个给定的点x∈R，证明的思路是 找出趋于X的两组不同的数列(x_n)和(x′_n)，使得

$\mathrm{li}\min f\frac{f\left(x_n\right)-f\left(x\right)}{x_n-x}>\mathrm{limsup}\frac{f\left({x^{\prime }}_n\right)-f\left(x\right)}{{x^{\prime }}_n-x}---\left(3\right)$

这与函数可导的定义矛盾，于是证明完毕。

一般人会直觉上认为连续的函数必然是近乎可导的。即使不可 导，所谓不可导的点也必然只占整体的一小部分。根据魏尔斯特拉斯 在他的论文中所描述，早期的许多数学家，包括高斯，都曾经假定连 续函数不可导的部分是有限或可数的。这可能是因为直观上想象一个 连续但在不可数个点上不可导的函数是很困难的事。当我们绘制函数 的图像时，总会画出较为规则的图形，例如满足利普希茨（Lipschitz） 条件的函数图像。

魏尔斯特拉斯函数可以被视为第一个分形函数，尽管这个名词当 时还不存在。将魏尔斯特拉斯函数在任一点放大，所得到的局部图都 和整体图形相似。因此，无论如何放大，函数图像都不会显得更加光 滑，也不存在单调的区间。

分析学的成果表明，魏尔斯特拉斯函数并不是连续函数中的少数 几个特例之一。尽管它是“病态”函数的一种，但可以证明，这种病态 的函数事实上不在“少数”，甚至比那些“规则”的函数“多得多”。

比如，将[-1,1]间等分131072个点作为自变量的魏尔斯特拉斯函 数图形如图5所示。显然，魏尔斯特拉斯函数的跳跃性很强，按此规 律对图像进行位置置乱，可以达到很好的置乱度。

2）位平面

①定义：将图像中每个像素点颜色值的某一位共同构成的一个新 的二值图像称为该图像的一个位平面图像。

在数字图像中，每个像素的各个位对图像的贡献是不同的。对于 8位的灰度图像，每个像素的数字g可以用下面公式表示：其中i代表象素的第几位，b_i表示第i位的取值。这样我们把整个图像 分解为8个位平面，从LSB（最低有效位0）到MSB（最高有效位7）。从 位平面的分布来看，随着位平面从低位到高位（即从位平面0到位平 面7），位平面图像的特征逐渐变得复杂，细节不断增加。

②位平面交换方式：一幅灰度图像的八个位平面可以两两进行交 换，但每个位平面只交换一次，这样可有多种交换方式；根据需要， 可自由选择。

3）图像置乱

①定义：给定图像A=[a(i，j)]_n*m，设变换T是{(x，y)：1≤x≤ n,1≤y≤m，且x,y均为整数}到自身的1-1映射，即：将图像A中位置 (x,y)处的元素变换到位置(x',y’)处，得到图像B，则称变换T是图 像A的置乱变换，仍记为B=TA。

②数字图像置乱加密技术是指发送方借助数学或其他领域的技 术，对一幅有意义的数字图像作变换使之变成一幅杂乱无章的图像再 用于传输；在图像传输过程中，非法截获者无法从杂乱无章的图像中 获得原图像信息，从而达到图像加密的目的；接收方经去乱解密，可 恢复原图像。为了确保图像的机密性，置乱过程中一般引入密钥。

一幅灰度图像可以看作一个二维数组，利用位平面交换的方式以 及魏尔斯特拉斯函数的函数值序列调整待置乱图像的位置，即对待置 乱图像进行了重新排序，对排序后的数组进行升维转换就可以得到置 乱后的图像。置乱过程实现相对简单，而且置乱过程对待置乱图像尺 寸没有要求，因此方法可以适用于任意尺寸的图像。

综上所述，我们通过对魏尔斯特拉斯函数的分析，并将其应用于 待置乱图像像素位置的调整，就可以得到一种新的魏尔斯特拉斯函数 的图像置乱方法，从而发明了一种基于魏尔斯特拉斯函数的图像置乱 方法。

现对本发明的方法进行详细说明如下：

第一部分：通过对待置乱图像进行位平面交换以及魏尔斯特拉斯 函数的函数值序列调整待置乱图像的位置，从而改变待置乱图像的像 素坐标位置，得到了置乱后的图像FIG。

此部分有五个输入为待置乱图像IMAGE、迭代次数cycle以及魏 尔斯特拉斯函数的变量值x和参数值a、b，一个输出为置乱后的图 像FIG；过程是通过对待置乱图像进行位平面交换以及魏尔斯特拉斯 函数的函数值序列调整待置乱图像的位置，从而得到置乱后的图像。 其中置乱密钥为cycle、x、a、b以及位平面交换方式。

1）定义迭代次数cycle=k；

cycle为置乱密钥中的一个，由用户定义，例如：cycle=2；

2）将待置乱图像的八个位平面按照用户选择的位平面交换方 式进行变换，得到图像Image；

其中位平面交换方式是置乱密钥中的一个，由用户定义，例如： 位平面0和7、1和6、2和5、3和4分别交换；

3）一次迭代开始：将Image转换为一维结构fig；按照fig的 长度选取魏尔斯特拉斯函数中自变量x的取值，设置满足魏尔 斯特拉斯函数的ab>1+3×π/2参数值a和b，按照魏尔斯特拉 斯函数公式求和（求和取有限次，如n=20），得到函数值y， 将所得到魏尔斯特拉斯函数值y进行升序排序，结果为index， 按照排序结果index，对图像一维化后的fig序列依次调整位置， 即进行置乱成h序列；将置乱序列h进行升维成待置乱图像 IMAGE大小的图像Fig，并将结果赋值给Image，则一次迭代结 束；

其中x、a和b为置乱密钥，要符合魏尔斯特拉斯函数公式中 变量的要求，由用户定义。例如：待置乱图像IMAGE大小为 M×N，x的取值可以是-1到1之间的M×N个数，a的取值可以 是0.7，b的取值可以是9。

4）如果cycle不等于k，说明迭代次数未完成，转到步骤3） 继续迭代，直到迭代次数为k，此时得到的Fig输出为FIG，FIG 即为置乱后图像；至此，正置乱迭代结束，即正置乱过程结束。

正置乱在置乱密钥的前提下得到了置乱后的图像FIG，从FIG中看 不到原始图像的任何

信息，FIG置乱效果好，保证了原始信息的安全性。

第二部分是图像的逆置乱，即置乱图像的恢复。有两个输入为置 乱的图像FIG和迭代次数cycle以及魏尔斯特拉斯函数的变量值x和 参数值a、b（这里的cycle、x、a、b与正置乱的相同），一个输出为 置乱恢复的图像OUT；根据得到的置乱图像，按照正置乱的逆过程进 行置乱图像的恢复。

1）定义迭代次数cycle=k；

置乱密钥cycle为2与正置乱中的要一致；

2）一次迭代开始：将置乱图像FIG转换为一维结构out；根据 正置乱排序结果index，对图像一维化后的out序列进行逆调 整，得到逆置乱序列g；将逆置乱序列g进行升维成置乱图像 FIG大小的图像Out，并将结果赋值给FIG，则一次迭代结束；

3）如果cycle不等于k，说明迭代次数未完成，转到步骤2） 继续迭代，直到迭代次数为k，则逆置乱迭代结束；

4）对Out进行正置乱过程中位平面交换方式的逆变换，结果 为OUT，即得到置乱恢复图像OUT，至此，逆置乱过程结束。。

在置乱密钥的前提下，经逆置乱过程恢复的图像OUT与原始图像 无丝毫差别，达到完全恢复原始图像的目的。

1）置乱效果观察

选用尺寸为方阵且大小为512×512的标准lena图和尺寸为矩形 阵且大小分别为278×512和512×305的lena图，利用本发明方法对 该图进行置乱操作。置乱密钥cycle为2；如图1示，（a）为大小为 512×512的原始lena图，（b）为（a）经正置乱过程得到的置乱图像， （c）为（b）经逆置乱过程得到的恢复图像；（d）为大小为278×512 的原始lena图，（e）为（d）经正置乱过程得到的置乱图像，（f）为 （e）经逆置乱过程得到的恢复图像；（g）为大小为512×305的原始 lena图，（h）为（g）经正置乱过程得到的置乱图像，（i）为（h）经 逆置乱过程得到的恢复图像。从（b）（e）（h）中可以看到图像置乱 视觉效果良好，置乱后的图像和白噪声一样；从（c）（f）（i）中可以 看到恢复的图像与原始图像相比没有任何损失。说明本发明置乱效果 基本成功。

2）置乱效果评价

我们用灰度值连续置乱度评价方法对本发明的方法进行置乱程 度评价：

数字图像的置乱程度

$\mathrm{Sr}=\lim \frac{\left|\right|{F^{\prime }}_{m\times n}\left|\right|-\left|\right|F_{m\times n}\left|\right|}{\mathrm{mn}-\left|\right|\left|F_{m\times n}\right||}---\left(4\right)$

其中，||F′_m×n||表示置乱后图像矩阵中连续性区域的个数，||F_m×n||表 示原始图像矩阵中连续区域性的个数。

置乱度评价结果如图2所示，选择大小为512×512的lena图， 置乱次数为200次，从置乱度评价曲线图中可以看到：置乱无周期， 不存在安全性恢复的问题；置乱能很快达到稳定状态；置乱度相对较 高。

3）直方图特征分析

在图3中，（a）为尺寸为512×512的lena图像，（b）为迭代2 次的置乱图像，（c）为（a）的直方图，（d）为（b）的直方图。从图 3（d）中可以看到，置乱后图像的直方图发生了变化，而且灰度值呈 均匀分布的形式，说明经本方法置乱后的图像表现为白噪声，提高了 非法攻击者根据置乱后图像的统计特征进行攻击的难度，从而提高了 方法的安全性。

4）抗攻击测试

实验选用512×512的lena图，分别对置乱图像进行加噪和滤波 处理。其中加入的噪声为椒盐噪声，噪声密度为0.06；滤波用的是大 小为3×3的高斯低通滤波器标准偏差为0.3。置乱图像经过攻击处理 后的结果如图3(a)(c)所示，攻击处理后得到的恢复图像如图3(b)(d) 所示。可以看到：置乱图像经过一定攻击处理后，不影响恢复图像的 可知性，这表明本方法有一定的抗攻击能力。