Pupils' visual representations in standard and problematic problem solving in mathematics: their role in the breach of the didactical contract

摘要

This study investigated the modes of representations generated by kindergarteners and first graders while solving standard and problematic problems in mathematics. Furthermore, it examined the influence of pupils' visual representations on the breach of the didactical contract rules in problem solving. The sample of the study consisted of 38 kindergarteners (age 5-6) and 34 first graders (age 6-7). Two standard problems (addition and subtraction) and two problematic problems were given to the participants. The majority of kindergarteners used a variety of spontaneous visual representations in order to solve both types of problems. In contrast, first graders mainly used symbolic representations corresponding to the numbers involved in the text of the problems. Results also suggested that the visual representations prevented kindergarteners from obeying the didactical contract rules. In fact, many kindergarteners were inclined to draw descriptive pictures about the meaning of the problems, without persevering in giving a symbolic answer in the standard problems or providing a stereotyped solution for the problematic problems. First graders, however, gave a routine solution, that is, a symbolic answer to the two problematic problems, complying with the didactical contract rule that every problem given to them has an answer. RESUME: L'tude prsente examine les modes de reprsentation gnrs par les lves de l'cole Maternelle et de la premire anne de l'cole Primaire dans le processus de solution de problmes standards et non ordinaires en mathmatiques. De plus, elle tudie l'influence des reprsentations visuelles des lves sur la 'rupture' des rgles du contrat didactique dans la rsolution de problmes. L'chantillon de la recherche tait constitu de 38 lves de l'cole Maternelle (gs de 5-6 ans) et de 34 lves de la premire anne de l'cole Primaire (gs de 6-7 ans). Deux problmes standards (addition et soustraction) et deux problmes non ordinaires taient donns aux participants. La majorit des lves de l'cole Maternelle avaient employ une varit de reprsentations visuelles spontanes afin de rsoudre les deux types de problmes. En revanche, les lves de la premire anne de l'cole Primaire avaient notamment employ des reprsentations symboliques correspondant aux chiffres inclus dans le texte des problmes. Les rsultats suggrent aussi que les reprsentations visuelles avaient dissuad les lves de l'cole Maternelle d'obir aux rgles du contrat didactique. En fait, plusieurs lves de l'cole Maternelle taient enclins de dessiner des images descriptives sur la signification des problmes sans insister pour donner une rponse symbolique aux problmes standards ou pour fournir une solution strotype aux problmes non ordinaires. Toutefois, les lves de la premire anne de l'cole Primaire avaient donn une solution typique, savoir, une rponse symbolique aux deux problmes non ordinaires en s'alignant sur la rgle du contrat didactique qui prvoit que tout problme donn a une rponse. ZUSAMMENFASSUNG: Die Studie befasst sich mit Deutungsweisen durch Schler in Kindergarten und erstem Schuljahr beim Lsen von standard- und problematischen Aufgaben in Mathematik. Ferner untersucht sie den Einfluss bildlicher Deutungsmuster durch Schler auf die Verletzung didaktischer Regeln beim Lsen von Aufgaben. Die Stichprobe bestand aus 38 Kindergarten-Kindern (Alter 5-6) und 34 Erstklaesslern (Alter 6-7). Zwei Standardaufgaben (Addition und Subtraktion) sowie zwei problematische Aufgaben wurden gestellt. Die Mehrheit der Kindergarten-Kinder verwendete eine Vielfalt spontaner Deutungsmuster um beide Arten von Aufgaben zu lsen. Im Gegensatz dazu griffen Erstklssler vorwiegend auf in der Aufgabenstellung enthaltene symbolische Darstellungen zurck. Die Ergebnisse der Studie legen nahe, dass bildliche Darstellungen Kindergarten-Kinder daran hindern, didaktischen Regeln zu folgen. In der Tat waren viele Kindergarten-Kinder geneigt, bildliche Beschreibungen der Problemstellung anstelle von symbolischen oder stereotypen Lsungen zu erstellen. Erstklssler hingegen gaben eine Routine-Lsung, also eine symbolische Antwort, auf die beiden problematischen Aufgaben und folgten der didaktischen Regel, derzufolge jede ihnen gestellte Aufgabe eine Antwort erhlt. RESUMEN: El presente estudio investiga los modos de representacin generados por los alumnos de Educacin Preescolar y del primer curso de Educacin Primaria en el proceso de solucin de problemas estndar y complejos en matemticas. Adems, examina la influencia de las representaciones visuales de los alumnos sobre la ruptura de las reglas del contrato didctico en la solucin de problemas. La muestra del estudio consista en 38 alumnos de Educacin Preescolar (edades entre 5 y 6 aos) y en 34 alumnos del primer curso de educacin primaria (edades entre 6 y 7 aos). Dos problemas estndar (sumar y restar) y dos problemas complejos se entregaron a los participantes. La mayora de los alumnos de Educacin Preescolar utiliz una variedad de representaciones visuales espontneas para resolver los dos tipos de problemas. En cambio, los alumnos del primer curso de Educacin Primaria usaron principalmente representaciones simblicas correspondientes a los nmeros incluidos en el texto de los problemas. Los resultados sugieren tambin que las representaciones visuales disuadieron a los alumnos de Educacin Preescolar de obedecer al contrato didctico. De hecho, varios alumnos de Educacin Preescolar se inclinaron a dibujar imgenes descriptivas del significado de los problemas sin insistir en dar una respuesta simblica a los problemas estndar o en entregar una solucin estereotipada a los problemas complejos. De todas maneras, los alumnos del primer curso de Educacin Primaria dieron una solucin tpica, es decir, una respuesta simblica a los dos problemas complejos aferrndose a la regla del contrato didctico que implica que todo problema planteado tiene una respuesta.