非欧几何与抽象代数

摘要

十九世纪被称为几何的非欧化时期,也是代数的抽象化时期,在这个时期,公理化方法得到迅速发展,并成为开拓研究领域,整理知识系统的重要手段.欧几里德的《几何原本》构造了数学史上第一个公理系统.这个公理系统首先把人们公认具有简单和自明特征的几何事实列成23个定义、5个公理和5个公设,作为研究几何问题的起点和依据;然后应用亚里士多德的形式逻辑方法,把希腊前期丰富而杂乱的几何知识组织成一个演绎体系.这个公理系统不仅是数学知识系统化的开端,也开创了科学理论系统化的先河,成为除圣经以外流传最广的著作.然而欧几里德公理系统也不是尽善尽美的.《几何原本》在第一卷给出了五个公设,其中前四个的确是简单的,不证自明的.这四个公设分别是:(1)从任一点到任一别的点可引直线,(2)有限直线可循直线延长,(3)以任一点为中心和用任意长的半径可作一圆,(4)凡直角都相等,唯独第5公设:“若一直线与另外两直线相交,且在同侧二内角之和小于两直角,则这两条直线无限延长后必相交于该侧的一点.”它不但过于复杂,而且所肯定的事实也不明显.比如,公元5世纪,希腊数学家普罗叶克鲁斯就曾对第五公设提出这样的质疑:“我们只能相信当截线一侧的内角之和小于二直角时,两直线会在这侧相接近,但不能肯定它会相交,事实上