3次Bézier曲线的新扩展

摘要

为了使扩展的3次Bézier曲线在光滑拼接条件下也能实现连续,并保证单段曲线和组合曲线均可以在不改变控制顶点的前提下自由调整形状,构造了一种结构与3次Bézier曲线相同的新曲线.首先,给出调配函数初步表达式,其中含待定系数;然后,根据预设的曲线在拼接时的性质,反推出调配函数应具有的端点性质,以此建立调配函数中待定系数应满足的方程组;通过解方程组,得到了一组含4个参数的5次多项式调配函数,取特殊参数时其次数可降为4次;最后,将调配函数与控制顶点作线性组合,定义了一种由4个控制顶点确定的带4个形状参数的新曲线,其具有Bézier曲线的凸包性、几何不变性和仿射不变性等基本性质.得益于多个形状参数的引入,由相同控制多边形可以定义形状各异的曲线,每个形状参数的改变都会带动曲线上的点沿固定方向线性移动.构造组合曲线时,相邻曲线段之间的连续条件与连续条件一致,组合曲线可以在保持连续性、控制顶点和参数分割均不变的前提下,自由调整形状.该方法能扩展CAD系统对工业产品的处理能力,提高产品设计、修改和优化的速度,节约设计中人力和物力.