调和映射边界正则性和曲面上归一化的Ricci Flow

摘要

报告包含两个部分。 第一部分研究从双曲空间到非正弯曲的黎曼流形的调和映射的边界正则性。这是一类一致退化的椭圆方程边界正则性问题。最近，在共形紧Einstein流形的研究中遇到了类似的问题并获得成功的解决。我们将共形紧Einstein流形研究中的方法运用到调和映射边界正则性的研究当中，证明了在边界附近，调和映射有带有对数项的级数展开，并且证明了这类调和映射在边界上有最佳的正则性。在证明的过程中，针对我们的问题，证明的方法得到了简化。 第二部分研究非紧曲面上的normalized Ricci flow。主要定理说在一定条件下，非抛物型曲面上的normalized Ricci flow将会收敛到常曲率度量。证明的主要思路是推广Hamilton的一个经典的办法。为此，我们需要克服一些在非紧流形上分析时的困难。特别的，文中证明了一个关于Ricci下有界时的Green函数增长估计。这个估计对一般的维数也对，本身有一定价值。最后，我们运用这里的结论和方法给出了经典的单值化定理的一个部分的证明。

目录

文摘

英文文摘

1 part one :boundary regularity of harmonic map

1.1 introduction

1.2 existence and uniqueness

1.3 polyhomogeous maps and borel lemma

1.4 Formal solution and approximate solution

1.5 lower order regularity

1.6 full regularity

2 part two :normalized ricci flow

2.1 introduction

2.2 an estimate of green's function

2.3 poisson equations △u=R+1

2.4 proof of the main theorem and the corollary

References

致谢

附录