H矩阵的新型判定方法和应用及一类矩阵AOR迭代的收敛条件

摘要

本文主要讨论了H矩阵的一种新型判定方法和应用及一类特殊矩阵AOR迭代法的收敛条件。众所周知，在线性代数方程组的讨论中，往往假设方程组的系数矩阵为H矩阵，而在实际工作中的确有许多矩阵为H矩阵，早在1976年人们研究JOR、SOR、AOR等迭代时发现这些迭代法的收敛性和H矩阵有非常重要的关系，即：只要所讨论的矩阵是H矩阵，则Lr,w(G)，Sr,w(G)等迭代矩阵是都是收敛的。因此快速而准确的判定一个矩阵是不是H矩阵对于讨论一个迭代矩阵的收敛性是非常重要的，本文就以此为基础来进行研究，给出了一个新型的H矩阵的判定方法，这个方法仅与所给矩阵本身的元素有关，方便可行。并将此方法推广应用到矩阵范数的估计上，得到了‖M-1N‖∞的一个新的估计式，推广了其适用的范围。其次对于AOR迭代本文在总结已有的收敛条件的基础上，特别对当Jacobi特征值为复数的情况进行了讨论，并给出了一个收敛条件，扩大了AOR迭代收敛的范围。 正文的内容包括第一章、第二章、第三章及第四章。第一章是序言部分，主要讨论了现有的H矩阵的一些判定方法、现有的矩阵范数的估计及近几年的发展情况。第二章是重点，主要讨论了H矩阵的一个新型判定方法及推广。第三章是应用，主要讨论了H矩阵的判定方法和结果在范数估计上的应用。第四章也是重点，讨论了当Jacobi特征值为复数的情况下AOR迭代法收敛的范围。其内容详细说明如下： 第二章中，首先研究了文献[2-6]中关于H矩阵的判定方法和近几年专家学者对于H矩阵判定的探索，然后给出了一个H矩阵新的判定方法，这个方法只与所给矩阵的本身元素有关，而且可以程序化处理，简单且容易操作，再以这个新的判定方法为基础给出了不可约矩阵、含有非零元素链的矩阵为H矩阵的判定方法，并通过数值例子可以看出来这种判定方法是十分方便和有效的。 第三章中，先对已有的‖A-1‖∞、‖M-1N‖∞的估计进行研究(其中M要求严格对角占优)，然后利用第二章的结论，给出了一个新的‖A-1‖∞、‖M-1N‖∞的估计式(其中M不要求是严格对角占优)通过数值例子比较可以看出来，这个估计不但比已有的估计精确而且适用范围要广的多。 第四章中，首先总结了在Jacobi迭代矩阵的特征值全为零、全为实数、全为纯虚数和为实数及纯虚数时收敛的充要条件。然后重点讨论了Jacobi迭代矩阵的特征值为特殊复数的情况下AOR迭代法的收敛范围，并给出了一个充分条件，通过具体的数值例子可以看出来这个收敛条件是有效的，但是由于这只是充分条件所以对其最优参数的讨论还需要进一步研究。

目录

文摘

英文文摘

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第一章引言

第二章H矩阵新型判定方法及其应用

第三章一类特殊矩阵无穷范数的估计

第四章矩阵迭代法及一类特殊矩阵的AOR迭代的收敛性

总结

参考文献

攻读学位期间的研究成果