修改的广义Riccati方程有理展开法求解非线性演化方程

摘要

长波在非线性色散介质表面的传播模型，从20世纪60年代开始，一直受到数学家和物理学家的广泛关注.而它的抽象模型大多用非线性演化方程建立，因此对这些非线性演化方程求解问题的研究就具有重要意义.本文主要运用函数展开解法中的tanh函数法，扩展的tanh函数法，广义Riccati方程有理展开法求解了几个模型方程，通过对比分析指数函数法和广义Riccati方程有理展开法，提出了一种新的函数展开解法，并运用此方法得到了两个具有重要意义的非线性演化方程的精确解.本文主要研究工作如下:
　　1.介绍了tanh函数法，扩展tanh函数法，指数函数法，广义Riccati方程有理展开法求解非线性演化方程的主要步骤.
　　2.对IBq方程和BBM-Burgers方程进行了修改，并使用tanh函数法和扩展tanh函数法求解了修改后的IBq方程，结合Exp-function方法求解广义Riccati方程得到的新解，把广义Riccati方程有理展开法应用到了修正后的BBM-Burgers方程，得到了它的一些预先设定形式的精确解.
　　3.通过对含有特定形式非线性项和导数项的一类方程的归纳总结得出，在使用Exp-function方法来求解这类方程时，可以直接使用简化后的Exp-function方法.并对用Exp-function方法得到的KdV方程的部分新解进行详细的推导，通过奇性分析给出了2个新的周期解.
　　4.我们用结合Exp-function方法以及Exp-function方法中平衡UsU(r)与U(n)归纳运算后的结论修改了广义Riccati方程有理展开法.结合用Exp-function方法求解广义Riccati方程方程得到的新解，用新方法求解了KdV-mKdV非线性演化方程和系数中包含时间变量t的KdV方程.

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 研究背景

1．2 本文研究的方法和几个方程简介

1．3 本文的研究意义与主要工作

第2章 Tanh和扩展tanh函数法求解修改的IBq方程

2．1 本章综述

2．2 Tanh函数法及其应用

2．2．1 Tanh函数展开法

2．2．2 Tanh函数法求解修改的IBq方程

2．3 扩展的tanh函数法及其应用

2．3．1 扩展的tanh函数展开法

2．3．2 扩展的tanh函数法求解修改的IBq方程

第3章 广义Riccati方程有理展开法与指数函数法

3．1 本章内容综述

3．2 广义Riccati方程有理展开法的主要思路与演化方程的求解

3．2．1 广义Riccati方程有理展开法的主要思路

3．2．2 广义Riccati方程的新解

3．2．3 广义Riccati方程有理展开法求解修正的BBM-Burgers方程

3．3 Exp-function方法

3．3．1 Exp-function方法的一般过程

3．3．2 Exp-function方法中非线性项与最高阶导数项归纳运算

3．3．3 用修改的Exp-function方法得到KdV方程新解的推导

第4章 修改的广义Riccati方程有理展开法及其应用

4．1 本章内容综述

4．2 修改的广义Riccati方程有理展开法与常系数演化方程的求解

4．2．1 修改的广义Riccati方程有理展开法

4．2．2 修改的广义Riccati方程有理展开法求解KdV-mKdV方程

4．3 修改的广义Riccati方程有理展开法求解变系数KdV方程

第5章 总结与展望

参考文献

致谢