非线性波系统精确解、近似解和分支理论的研究

摘要

随着非线性科学的发展，越来越多的科学家认为这个世界在本质上是非线性的，非线性系统理论已经涉及到几乎所有的自然科学领域，尤其是在近现代数学物理和科学工程研究中，许多关键的问题，最后都归结于某些特定非线性系统的求解，如:超导、激光打靶、光纤通信、等离子振荡、结构相变等等。因此，非线性系统的求解特别是孤立波解（包括精确解和近似解）就显得极为重要，这些解对于揭示非线性波的传播规律、代数结构和本质属性，准确解释和预测各类非线性自然现象等方面均具有极大的研究价值。
　　本文对非线性波系统的精确解、近似解和分支理论进行了研究。首先，在第三章对传统的求非线性波系统精确解的几类主要函数展开法进行了改进，简化、统一和推广了多种传统方法，如:广义Riccati方法、广义G'/G方法、形变映射法、直接代数法、首次积分法等等，并利用它们研究了三类典型非线性波系统:任意次VGKdV-mKdV方程、带强迫项广义变系数Gardner方程、组合Schr(o)dinger-Boussinesq方程的精确解。除了得到许多已有结果外，还发现了许多有意义的新解。这些解包括类Jacobi椭圆函数解、类孤立波解、类三角函数周期解和Weierstrass椭圆函数解等。相关结论已被国内外学者多次引用。其次，在第四章详细介绍了几种处理非线性波系统常用的近似解析方法，包括摄动法、Adomian分解法(ADM)、同伦分析法(HAM)和同伦摄动法(HPM)，首次借助同伦分析法和Fourier变换，研究了两类重要扰动非线性波系统:广义扰动KDV-Burgers系统和变系数扰动Schr(o)dinger方程的近似解，并对近似结果进行了精度分析。再次，在第五章将分数阶变分迭代法进行了改进，将该方法应用于求解两类分数阶变系数薛定谔方程，得到了多种类型的近似解及精确解结构。将所得到的结果和采用传统方法HAM、HPM、ADM得到的结果进行了比较，分析表明，该方法大大提高了对复变函数非线性波系统的求解效率。最后，在第六章借助动力系统的分支理论，详细分析了一类分数阶广义Fornberg-Whitham-Rod方程的分支结构，得到了其所有参数条件下的相图结构，并由此得到其所对应的部分精确解或近似解的结构。包括孤立波解、尖峰解、周期波解等。

目录

声明

摘要

第一章 绪论

1．1 孤立子理论历史和现状

1．2 分数阶微积分历史和现状

1．3 本文的主要内容及创新点

第二章 基本概念

2．1 椭圆函数及其理论

2．1．1 引言

2．1．2 椭圆积分与椭圆函数

2．2 平面动力系统理论

2．2．1 引言

2．2．2 几个定义、定理

第三章 广义椭圆函数展开法及其应用

3．1 广义椭圆函数展开法

3．1．1 广义Jacobi椭圆函数法

3．1．2 推广一：广义形变映射法

3．1．3 推广二：广义代数法

3．2 任意次VGKdV-mKdV方程的精确解

3．3 带强迫项广义变系数Gardner方程的精确解

3．4 组合Schr?dinger-Boussinesq方程的Jacobi椭圆函数解

第四章 两类扰动非线性系统近似解的研究

4．1 几种常用的近似展开法

4．1．1 摄动方法

4．1．2 Adomian分解法

4．1．3 同伦分析法

4．1．4 同伦摄动法

4．1．5 同伦映射法

4．2 广义扰动KdV-Burgers方程的同伦分析解

4．3 广义扰动KdV-Burgers方程的同伦映射解

4．4 广义扰动非线性薛定谔方程的同伦近似解

第五章 分数阶变系数Schr?dinger方程的变分迭代解

5．1 VIM，FVIM，MFVIM介绍

5．2 第一类广义分数阶非线性Schr?dinger方程的精确解和近似解

5．2．1 GFNLS方程Ⅰ的精确解结构

5．2．2 MFVIM方法和GFNLS方程Ⅰ的近似解

5．3 第二类广义分数阶非线性Schr?dinger方程的变分迭代解

5．3．1 GFNLS方程Ⅱ

5．3．2 GFNLS方程Ⅱ的近似解

第六章 分数阶广义Fornberg-Whitham-Rod方程的分支结构

6．1 分数阶广义Fornberg-Whitham-Rod方程的哈密顿函数

6．2 分数阶广义Fornberg-Whitham-Rod方程的分支(一)

6．3 分数阶广义Fornberg-Whitham-Rod方程的分支(二)

6．4 分数阶广义Fornberg-Whitham-Rod方程的分支(三)

6．5 分数阶广义Fornberg-Whitham-Rod方程的分支(四)

第七章 结束语

参考文献

致谢

攻读博士期间发表的论文

攻读博士期间参加的相关课题

攻读博士期间参加的学术会议

附录