无网格局部Petrov-Galerkin方法在超弹性材料中的应用

摘要

无网格方法是在有限元法的基础上提出来的，他与有限元法的主要区别在于建立近似函数时不需要网格，而是基于彼此独立的节点建立离散方程，有效的避免了复杂的网格划分和网格畸变等不利影响，在处理非线性力学和动态裂纹扩展等问题中有明显的优势。无网格局部Petrov-Galerkin方法是近几年发展起来的一种相对较新的数值方法，它不需要借助任何的单元或网格来进行积分或插值，是一种真正的无网格方法。近年来，Atluri等和龙述尧等在局部Petrov-Galerkin方法及其应用研究上取得一系列成果，本文将在他们工作的基础上，基于超弹性橡胶类材料在汽车、机械、民用、电气及电子等领域内的重要性，提出了求解非线性大变形超弹性材料问题的局部Petrov-Galerkin方法。 本文首先综述了无网格方法的发展历史和国内外研究现状，对一些主要的无网格方法进行了回顾与评价，总结了无网格方法的优越性及目前仍然存在的难点和需要解决问题。概述了数值方法在超弹性材料中的研究情况，并对其间存在的问题和解决方案进行了简单介绍。然后基于Atluri等人的工作，通过对四种近似函数和六种MLPG方法的实施方案进行对比性研究，我们选用径向基函数耦合多项式点插值法和Heaviside加权函数来构造局部Petrov-Galerkin方法在超弹性材料问题中的求解方程。在超弹性材料的力学描述中，文中基于客观张量Green-Lagrange应变和第二类Piola-Kirchhoff应力，把应变能函数分解成体积应变能和偏斜应变能两部分，对超弹性材料的力学关系式进行了推导。 尽管对局部Petrov-Galerkin方法的研究已有一系列的研究成果，但大部分是建立在线弹性小应变的基础上，对于大变形非线性问题的研究很少见到报道。本文的主要贡献及工作创新点是，首次将无网格局部Petrov-Galerkin方法应用于求解超弹性橡胶类材料的相关问题中。提出了求解超弹性材料静力学、动力学、静态接触和动态碰撞等问题的局部Petrov-Galerkin方程。在建立求解方程的过程中，Heaviside加权函数的引入完全或部分除去了刚度矩阵中的局部域积分项，大大简化了本文方法的计算工作量。为了克服橡胶类材料的不可压或几乎不可压特性，对于平面应力和平面应变问题，分别采用了平面应力假设和压力投影法来避免锁定现象和压力震荡问题。在动力学问题的求解中，对时间域采用了Newmark隐式算法进行离散。在建立静态接触问题的求解公式中，文中基于局部Petrov-Galerkin求解方程逐点建立的思想，对位于接触面上的节点和非接触面上的节点分别采用了不同的处理方法，即对非接触面上的节点采用Heaviside函数作为加权函数建立方程，对接触面上的节点采用DiracDelta函数作为加权函数建立方程。另外，对接触搜索算法和接触力的计算分别采用了主从面接触搜索算法和罚方法，接触面摩擦力的计算采用了修正的库仑定律。并且一种简单有效的显式算法也在动态碰撞问题中得到了很好的应用。 为了检验本文方法在超弹性材料的不同问题中应用的有效性，文中对相关问题的算例分别进行了研究，并将本文的数值结果与解析解或其它数值方法的结果进行了比较。通过对数值算例的计算和分析表明，本文方法在求解超弹性橡胶类材料的各类问题时都具有很好或较好的精度和良好的收敛性。

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文摘

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论文说明：插图索引、附表索引

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第1章 绪论

第2章 局部Petrov-Galerkin方法的理论研究

第3章 超弹性材料的力学描述

第4章 用局部Petrov-Galerkin方法分析超弹性材料静力问题

第5章 用局部Petrov-Galerkin方法分析超弹性材料动力学问题

第6章 用局部Petrov-Galerkin方法分析超弹性材料静态接触问题

第7章 用局部Petrov-Galerkin方法分析超弹性材料动态碰撞问题

总结与展望

参考文献

附录A攻读学位期间所发表的学术论文目录

附录B攻读学位期间所参加的科研课题

致谢