线性统计模型系数参数的平衡岭估计

摘要

本文主要研究了线性统计模型系数参数的平衡岭估计，并通过比较的方式证明了所提出的平衡岭估计是优于最小二乘估计的，依托现有的有偏估计各种性质，深挖理论背后的实际意义，努力将岭估计研究向纵深推进。
　　本文一共分为四部分内容。首先是绪论部分，在这部分主要介绍了最小二乘估计、有偏估计的发展历史及平衡损失函数国内外研究的现状。其次是预备知识，着重介绍矩阵相关理论和概念，矩阵的微分、均方误差、广义逆矩阵和Moore-Penrose广义逆矩阵的相关性质，这些定理在后面的论证中起到关键的作用，均方误差度量估计的平均偏离程度，复共线性使得最小二乘估计不再理想。再次是平衡损失下回归系数的相关性质，这部分介绍了吴启光等统计学者的研究成果，最小二乘估计是其他有偏估计的基础，当设计矩阵X存在复共线性时引入有偏估计，岭估计在所有有偏估计中应用最为广泛。在统计决策中损失无法避免，基于平衡损失的思想，推导平衡最小二乘估计表达式，介绍平衡损失下回归系数的线性容许估计及奇异线性模型中线性估计的可容许性。最后部分是本文的核心内容，主要研究了在平衡损失下岭估计的相关性质，从平衡损失函数的风险函数出发，因为本文所讨论的设计矩阵X是不满秩的，所以β不可估，而任意的可估函数C'β均可表示为Xβ的线性函数，因此只需讨论可估函数Xβ的平衡岭估计优良性及可容许性即可。本文兼顾拟合优度及岭估计的精度，构造了平衡损失函数，给出线性模型系数参数平衡岭估计概念，并在可估函数的意义下，利用奇异值分解定理、矩阵的微分、相容性和可容许性等性质，与最小二乘估计作比较，讨论了线性统计模型系数参数的平衡岭估计的可容许性和优良性。

目录

摘要

1 绪论

1．1 国内外发展现状

1．2 本文的研究内容

2 预备知识

2．1 广义逆矩阵

2．2 矩阵微分

2．3 均方误差

2．4 复共线性

2．5 线性回归方程

2．6 平衡损失函数

2．7 本章小结

3 平衡损失下回归系数的相关估计

3．1 最小二乘估计

3．2 可容许性

3．3 岭估计

3．4 平衡损失下回归系数的线性容许估计

3．5 平衡损失下最小二乘估计

3．6 平衡损失下奇异线性模型中线性估计的可容许性

3．7 本章小结

4 回归系数参数的平衡岭估计

4．1 平衡岭估计概念

4．1．1 平衡岭估计概念

4．1．2 平衡岭估计的优良性

4．2 本章小结

结论

参考文献

附录

攻读学位期间发表的学术论文

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