分数阶微分非线性系统的稳定性理论及在混沌同步中的应用研究

摘要

分数阶微积分已有300多年的历史,其发展几乎与整数阶微积分同步,但是由于其缺乏明显的几何意义,应用一时受到限制。直到Mandelbrot提出分形学说,将Riemann-Liouville分数阶微积分用以分析和研究分形媒介中的布朗运动,分数阶微积分才在许多学科的现代工程计算中得以广泛关注,并得到了比较大的发展,已被广泛应用于数理科学、化学工程科学和非线性动力学系统控制等诸多领域。
　　近两年在分数阶非线性系统的基本特性以及在分数阶非线性系统稳定、分数阶混沌系统的控制与同步方面的研究取得了不少进展,但由于缺乏分数阶非线性系统的稳定理论,现有的分数阶非线性系统包括分数阶混沌系统的稳定和同步,大都基于主动控制的策略,在误差系统中删去非线性项,再根据分数阶线性系统稳定理论设计控制器,控制代价大,工程上不易实现。特别是当系统的参数未知时或受外界扰动时该方法又往往无能为力。在实际应用中,分数阶微积分非线性系统的参数常常是未知的或不确定的,系统也常常受到环境噪声干扰。
　　针对目前现状,本文做了以下几方面的工作:(1)提出了两种分数阶非线性系统的稳定性理论,并提出了两种构造Lyapunov函数的方法,实现了分数阶非线性系统的通用自适应稳定和分数阶混沌系统的通用自适应同步控制。得到许多成功的实验和模拟结果。(2)研究了实际环境下的分数阶混沌系统同步问题,基于自适应控制和滑模控制提出了参数未知受扰分数阶混沌系统的同步和修正的投影同步,以及参数未知受扰异结构分数阶混沌系统的同步和延迟投影同步。这些理论可直接用于保密通信、扩频通信等方面。(3)时滞微分方程(DDE),是具有时间滞后的微分方程,是用来描述既依赖于当前状态也依赖于过去状态的发展系统。微分方程中时滞的引入,丰富了其动力学行为,使得对现实现象的描述更精确。“Nature works with fractional timederivatives”,分数阶时滞微分非线性系统更接近现实生活的描述,其动力学行为更加复杂,能产生具有极高不可预测性和随机性的时间序列,具有潜在的应用前景。我们利用分数阶非线性系统稳定性理论,选取适当的Lyapunov函数,首次实现了分数阶时滞混沌系统的线性反馈同步和自适应同步。
　　本文的组织如下:第一章介绍分数阶微积分的定义性质,扩展了分数阶Caputo导数的性质,并给以证明。
　　第二章简要给出了分数阶微积分的计算和数值模拟方法及分数阶混沌系统的电路实现方法;
　　第三章提出了分数阶非线性系统稳定理论和分数阶非线性系统Lyapunov稳定理论;
　　第四章提出了分数阶微分非线性系统通用自适应稳定理论和分数阶混沌系统自适应同步理论;
　　第五章用含一个驱动变量的单一控制器实现了一类分数阶混沌系统的控制与同步;
　　第六章考虑分数阶混沌系统同步在实际环境中可能遇到的问题,提出了参数未知和受到未知扰动的分数阶混沌系统的自适应完全同步和投影同步;
　　第七章通过滑模自适应控制实现了参数未知受扰异结构分数阶混沌系统的完全同步和延迟投影同步;
　　第八章提出了分数阶时滞混沌系统的两种同步方法:线性反馈同步和自适应同步。
　　最后给出了全文的结论和对未来的展望。