一种新的iSCAD惩罚厄兰混合模型的一致估计及其在保险中的应用

摘要

本文主要研究Erlang混合分布的估计和统计性质，其密度函数是h（x;α，γ，θ）=m∑ j=1αjxγj-1e-x/θ/θγj(γj-1）!，x＞0，其中α=（α1，…，αm）是混合权重系数，γj是Erlang分布的整数形状参数，θ＞0是尺度参数。
　　Erlang混合模型主要应用于金融、保险领域，在保险破产理论和保险损失数据的拟合中都有重要应用，模型适合分析保险数据的异质性，同时对于保险人关心的指标有显式解析式。Willmot&Woo[67]给出Erlang混合模型在破产理论中的应用，当投保人的损失额服从Erlang混合分布时，有限、无限时间破产概率，随机破产时刻的拉普拉斯变换等都有显式解析式。类似的研究可以参阅[7，41，47，63]等文献。Lee&Lin[43]给出Erlang混合模型在保险损失拟合中的应用，计算了常见的风险度量指标Value-at-risk(VaR)和tail VaR(TVaR); Verbelen[64]等在Erlang混合模型中引入双边截断，这方面的研究还有[23，64，65]等文献。
　　混合模型的线性结构很好的刻画了异质性，但是产生了不可回避的问题:混合数（序）的确定。很多学者讨论过正态混合模型序的确定，主要包括最小距离法[15，38]，假设检验法[17，18，25，26]，惩罚似然法[1，16，40，58]等。Erlang混合模型序确定的文献比较少，Lee&Lin[43]和Verbelen[64]都采用传统的BIC来确定，但是并没有给出BIC在Erlang混合分布中统计性质的说明。
　　混合模型的线性结构与线性回归的结构很相似，Fan&Li[31]提出应用于线性回归模型的SCAD惩罚函数，SCAD通过惩罚回归系数，同时实现了变量的选择和回归系数的估计。受Fan&Li[31]的启发，本文提出一种新的惩罚函数，命名为iSCAD，将其应用于Erlang混合模型，通过惩罚权重参数，运用EM算法，给出了混合模型的权重参数的阈值式估计(π)(k+1）j=(q)(k）jI（(q)(k）j＞aλ）+M/λ((q)(k)j-λ）+I（(q)(k）j≤aλ）同时实现了参数的估计和模型序的确定，而且估计量满足稀疏性、连续性和无偏性，即关于零邻域内的权重参数的估计具有稀疏性，远离零的权重参数的估计具有无偏性，估计关于样本是连续的。
　　本文第二章给出参数估计量统计性质的证明，借鉴Wald[66]的证明，基于一些必要的引理，定理2.4.6证明了极大惩罚似然函数的估计满足一致性，推论2.4.8证明了混合模型序估计的一致性。第三章针对左截断为l的Erlang混合分布，详细阐述如何利用EM算法来估计混合权重参数和Erlang分布共用的尺度参数。本章进行两个模拟实验，同时将模型应用于实际保险损失数据，结果说明本文建议的方法比传统的BIC方法更有效，验证了模型和算法的有效性。
　　本文关于模型的选择是通过删除小权重的分量模型来实现。保险数据的尾部是大额且稀疏的，其相应的权重很小但不可删除。为克服这个缺陷，第四章引入极值分布，用于拟合大于阈值μ的尾部数据，建立了Erlang极值混合模型，参数ψμ将密度函数分为两部分，拟合数据主体的Erlang混合分布，拟合数据尾部的极值分布，iSCAD仅作用于Erlang混合分布的权重参数，Erlang混合分布的参数估计仍然满足一致性。类似地，通过模拟实验和实际数据说明模型和算法的有效性。

目录

声明

摘要

第一章 绪论

§1．1 问题的背景及意义

§1．2 本文拟解决的问题及相关文献的综述

§1．3 结构安排

第二章 Erlang混合模型序估计的一致性

§2．1 预备知识

§2．2 左截断的Erlang混合模型

§2．3 iSCAD惩罚函数

§2．4 主要结果

第三章 Erlang混合模型的参数估计

§3．1 预备知识

§3．2 左截断为l的Erlang混合模型和EM算法

§3．3 模拟实验

§3．4 实际数据的应用

§3．5 附录：Erlang混合模型三种方法下的估计结果

第四章 Erlang极值混合模型的参数估计

§4．1 Erlang极值混合模型和EM算法

§4．2 模拟实验

§4．3 实际数据的应用

第五章 结束语

§5．1 论文的主要工作

§5．2 论文的创新点

§5．3 进一步考虑的问题

附录

参考文献

攻读博士学位期间完成的学术论文

致谢