一种基于整体动力学模型的静压转台动态响应计算方法

摘要

本发明涉及一种基于整体动力学模型的静压转台动态响应计算方法，包括：计算各支承油垫的平均油膜厚度及预压油垫的平均油膜厚度，计算预压油垫及支承油垫的承载力，建立静压转台的整体动力学模型，应用Matlab计算转台动力学模型的数值解从而求出转台的动态响应。本发明针对静压转台现有建模方法因考虑因素不全面，从而影响转台响应计算精度的问题，提供了一种考虑油垫表面粗糙度及偏载影响的静压转台动态响应的建模与计算方法，提高了模型的准确度及动态响应计算精度，对进一步优化静压转台的动态性能具有指导性作用。

说明书

技术领域

本发明属于静压转台分析领域，涉及一种单圈油垫支承的静压转台动特性建模与仿真计 算方法，具体涉及一种考虑了油垫表面粗糙度及偏载的影响的静压转台动态响应的建模与仿 真计算方法。

背景技术

静压转台（Hydrostatic Rotary Table）用有压力的流体使有相对运动的两个表面分开并借 助流体静压来承载。由于运动副之间完全被油膜隔开，所以运动副间的摩擦力大大减小，同 时其承载能力、运动精度与寿命却大大提高。正因为液体静压支承的诸多优点，所以它广泛 的应用于重型机床并成为其关键部件之一。静压转台在使用过程中不可避免的会受到偏心动 载荷，冲击载荷的作用，这些问题在重型静压转台中显得尤为明显，那么要解决这些问题首 先就要求建立一个准确而全面的转台动力学模型；同时，静压转台的动态性能是转台的重要 性能之一，建立转台的动力学模型，深入分析转台在动载作用下的响应对于转台的优化设计 及转台综合性能的提升有重要作用。

国内外学者对静压支承技术进行了广泛、深入的研究。2012年3月发表在《工程力学》 杂志第29卷第3期的论文“液体静压导轨转台轴向振动的动力学建模与分析”，建立了转台 的轴向动力学模型，并进行了分析计算，但没有考虑偏载及粗糙度的影响，也没有考虑预压 力的作用，而几乎所有的重型静压转台都设计有预压油垫来提供预压力，所以这一方法并不 能反映转台的实际情况。公开号为CN102980755A的发明专利“一种定量式静压转台动静态 特性实验装置”，公开了一种静压转台动静态特性的实验装置，对转台动力学的建模也仅考虑 均载。公开号为CN103186698A的发明专利“一种重型机床静压转台动、静态性能仿真优化 方法”，公开了一种利用ansys二次开发建立转台有限元模型，进而对转台进行仿真和优化的 方法。该方法将油垫等效为非线性弹簧但没有考虑油垫非线性阻尼，没有考虑油垫粗糙度的 影响。总之，关于转台的动力学建模虽各有特点，但考虑因素都不全面，没有综合考虑转台 的各种影响因素建立转台的整体动力学模型，从而影响了转台响应的计算精度。

发明内容

本发明的目的是提供一种考虑粗糙度及偏载影响的静压转台动态响应的计算方法，该方 法首先计算转台支承油垫及预压油垫的动态承载力，然后建立转台的整体动力学模型，最后 通过数值方法计算转台的响应。将本发明应用于静压转台动态特性的仿真分析中，能够准确 计算转台在偏心动载作用下的响应。

为了实现上述目的，本发明是采用以下技术方案：

步骤1，忽略转台自身的变形，即近似认为转台为刚体，认为转台的平均油膜厚度为h， 转台在偏心外载作用下会发生倾斜，根据转台各油垫的分布位置计算各支承油垫的平均油膜 厚度及预压油垫的平均油膜厚度。

步骤2，根据流体力学相关理论计算预压油垫及支承油垫在考虑挤压效应及表面粗糙度 时的压力分布，之后对压力分布进行积分得到预压油垫及支承油垫的承载力；

步骤3，根据转台在外载作用时期所有受力及力矩平衡原则，建立转台的动力学平衡方 程。转台的动力学方程为二阶非线性微分方程。

步骤4，根据数值分析的相关理论及龙格库塔法，应用matlab软件编写转台动力学方程 的求解程序，最终得到方程的数值解，也就是转台的动态响应曲线。

与现有技术相比，本发明具有以下明显优势：

本发明基于流体力学及数值分析理论，建立静压转台的整体动力学模型，并采用数值方 法求解出转台的动态响应。因为模型中考虑了转台承受偏载对转台特性的影响，也考虑了油 垫粗糙度的影响，提高了转台整体动力模型和转台响应的准确性，对优化转台性能具有重要 的指导作用。

附图说明

图1为静压转台结构简图；

图2为转台支承油垫结构简图；

图3为转台预压油垫结构简图；

图4为转台受力简图；

图5为本发明所涉及方法的流程图；

图6为本发明实例得到的转台响应曲线：（a）为转台承受不同阶跃均载时转台的响应曲 线，（b）为转台在恒定阶跃外载不同偏距时的响应曲线，（c）、（d）分别为转台在恒定阶跃均 载但取不同粗糙度值时的响应曲线。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明做进一步说明。

图1为单圈支承的静压转台结构简图，由转台、基座、支承油垫和预压油垫组成，转台 自重为G，各油垫均由定量泵供油，其中支承油垫的供油量为Q₀，预压油垫的供油量为Q₁。

图2、图3为预压油垫与支承油垫的结构简图，预压油垫是环形油垫，支承油垫是圆形 油垫，支承油垫和预压油垫表面及导轨面的粗糙度均方根值分别为δ₁和δ₂。

基于整体动力学模型的静压转台动态响应的计算方法的流程图如图5所示，具体包括以 下步骤：

步骤1，计算各支承油垫及预压油垫的平均油膜厚度。

静压转台结构简图如图1所示，支承油垫和预压油垫共同组成支承系统，预压油垫有一 个安装在转台中心部位，支承油垫有多个沿支承圆的圆周均匀分布。忽略转台自身变形，假 设转台为刚体，根据转台各油垫的分布位置计算各支承油垫的平均油膜厚度及预压油垫的平 均油膜厚度，公式如下：

其中，h_i为第i个支承油垫的平均油膜厚度，i=1,2,…,n，n为支承油垫数量；为第i 个支承油垫中心点与转台中心点连线与x轴的夹角，如图4所示；h_y为预压油垫的平均油膜 厚度；h为转台所有支承油垫的平均油膜厚度；θ_x、θ_y分别为转台的x向和y向倾角；R_L为 支承油垫中心与转台中心的距离，如图1所示。

步骤2，计算预压油垫及支承油垫的承载力。

步骤2.1，求油膜的随机雷诺方程。

假设油垫油液的流态为层流，不考虑温度的影响，根据流体力学理论对柱坐标系下的N-S 方程及连续性方程进行简化得到：

$\frac{1}{r}\frac{\partial \left({\mathrm{ru}}_r\right)}{\partial r}+\frac{\partial \left(v_z\right)}{\partial z}=0---\left(2\right)$

$\frac{\partial p}{\partial r}=\eta \frac{{\partial }^2{u}_r}{{\partial z}^2}---\left(3\right)$

$\frac{\partial p}{\partial r}=0---\left(4\right)$

其中，p为油液的压力，u_r为油液在r方向的流速，v_z为油液在z方向的流速，η为油液 的粘度。

求解上述方程可以得到一维随机雷诺方程：

$\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(\frac{{\mathrm{rh}}_T^3}{12\eta }\frac{\partial p}{\partial r}\right)=\frac{{\partial h}_T}{\partial t}---\left(5\right)$

油膜厚度可以认为由两部分组成：

h_T＝δ(r,θ,ξ)+h(t)(6)

其中，δ＝δ₁+δ₂为支承油垫表面与导轨面及预压油垫表面与导轨面间的平均粗糙度，就 是油膜厚度的粗糙部分，ξ表示粗糙度的分布类型。由于在自然界中大部分表面的形貌都符 合高斯分布，所以本发明假设转台的所有油垫表面及导轨表面的粗糙度满足高斯分布。h表 示油膜厚度的光滑部分。

步骤2.2，计算平均雷诺方程。

将表面粗糙度分为周向粗糙度和径向粗糙度两部分，并对随机雷诺方程（5）取期望得到 平均雷诺方程。

对于径向粗糙度有h_T＝δ(θ,ξ)+h(t)，则平均雷诺方程为：

$\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(\frac{\mathrm{rE}\left(h_T^3\right)}{12\eta }\frac{\partial p}{\partial r}\right)=\frac{\partial E\left(h_T\right)}{\partial t}---\left(7\right)$

对于周向粗糙度有h_T＝δ(r,ξ)+h(t)，则平均雷诺方程为：

$\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(\frac{r}{12\mathrm{\eta E}\left(h_T^{-3}\right)}\frac{\partial p}{\partial r}\right)=\frac{\partial E\left(h_T\right)}{\partial t}---\left(8\right)$

工程中的粗糙表面大多服从高斯分布，用多项式近似表示的高斯分布为：

其中，σ为标准差；c为随机油膜厚度范围的一半，方程在c＝±3σ内有效。

令，粗糙度为周向粗糙度时，粗糙度为径向粗糙度时式（7）、（8）可统一写成：

$\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(\mathrm{rE}\frac{\partial p}{\partial r}\right)=T---\left(10\right)$

同理得到油垫的油流量为：

$Q\left(r\right)=-\frac{\mathrm{rE}}{12\eta }\frac{\partial p}{\partial r}---\left(11\right)$

步骤2.3，计算支承油垫的承载力。

支承油垫的结构简图如图2所示，它为圆形阶梯结构，主要尺寸已在图中标明，对于圆 形定量补偿的支承油垫有边界条件：

r＝R₁,p_s＝p_s0；r＝R₂,p_s＝0；Q(R₁)＝Q₀（12)

其中，R₁、R₂分别为支承油垫的内径和外径，p_s0为支承油垫的油腔压力。

将（10）式中的p替换为p_s，并代入支承油垫的边界条件，解得支承油垫的油腔压力p_s0和封油边压力分布p_s(r)为：

$p_{s0}=\frac{6\eta \ln \left(\frac{R_2}{R_1}\right)}{\mathrm{\pi E}}(Q_0+\frac{\pi R_1^{2}T}{12\eta }-\frac{\pi (R_2^2-R_1^5)T}{24\eta \ln \left(\frac{R_2}{R_1}\right)})---\left(13\right)$

$p_s\left(r\right)=\frac{r^{2}T}{4\mathrm{\pi E}}-\frac{(p_0\ln \left(\frac{r}{R_2}\right)+\frac{T(R_2^2\ln \left(\frac{r}{R_1}\right)-R_1^2\ln \left(\frac{r}{R_2}\right))}{4E})}{\ln \left(\frac{R_2}{R_1}\right)}---\left(14\right)$

圆形支承油垫的承载力为：

$F=\pi R_1^2{p}_{s0}+2\pi \underset{R_1}{\overset{R_2}{\int }}{\mathrm{rp}}_s\left(r\right)\mathrm{dr}---\left(15\right)$

式中，F为支承油垫的承载力。

步骤2.4，计算预压油垫的承载力。

预压油垫为环形油垫，其结构简图如图3所示，对于环形油垫有边界条件为：

$\left(\begin{array}{c}r=R_{C1},p=0\\ r=R_{C2},p_y=p_{y0}\\ r=R_{C3},p_y=p_{y0}\\ r=R_{C4},p_y=0\\ Q_1=-Q\left(R_{C2}\right)+Q\left(R_{C3}\right)\end{array},-,-,-,\left(16\right)\right)$

其中，R_C1～R_C4分别为预压油垫封油边内径、预压油垫油腔内径、预压油垫油腔外径和预 压油垫封油边外径。

将（10）式中的p替换为p_y，并带入边界条件（16），解得预压油垫的油腔压力p_y0和封 油边压力分布p_y(r)为：

$p_0=\frac{6\eta \ln \left(\frac{R_{C4}}{R_{C3}}\right)\ln \left(\frac{R_{C2}}{R_{C1}}\right)}{\pi E\ln \left(\frac{R_{C4}{R}_{C2}}{R_{C3}{R}_{C1}}\right)}(Q_0+\frac{\mathrm{\pi T}(R_{C3}^2-R_{C2}^2)}{12\eta }-\frac{\mathrm{\pi T}(\ln \left(\frac{R_{C2}}{R_{C1}}\right)(R_{C4}^2-R_{C3}^2)+\ln \left(\frac{R_{C4}}{R_{C3}}\right)(R_{C1}^2-R_{C2}^2))}{24\eta \ln \left(\frac{R_{C2}}{R_{C1}}\right)\ln \left(\frac{R_{C4}}{R_{C3}}\right)})---\left(17\right)$

当r∈(R_C1,R_C2)时压力分布为：

$p_{y1}\left(r\right)=\frac{r^{2}T}{4\mathrm{\pi E}}-\frac{(p_0\ln \left(\frac{r}{R_{C1}}\right)+\frac{T(R_{C1}^2\ln \left(\frac{r}{R_{C2}}\right)-R_{C2}^2\ln \left(\frac{r}{R_{C1}}\right))}{4E})}{\ln \left(\frac{R_{C1}}{R_{C2}}\right)}---\left(18\right)$

当r∈(R_C3,R_C4)时压力分布为：

$p_{y2}\left(r\right)=\frac{r^{2}T}{4\mathrm{\pi E}}-\frac{(p_0\ln \left(\frac{r}{R_{C4}}\right)+\frac{T(R_{C4}^2\ln \left(\frac{r}{R_{C3}}\right)-R_{C3}^2\ln \left(\frac{r}{R_{C4}}\right))}{4E})}{\ln \left(\frac{R_{C4}}{R_{C3}}\right)}---\left(19\right)$

环形预压油垫的承载力为：

$F_y=\pi (R_{C3}^2-R_{C2}^2)p_{y0}+2\pi \underset{R_{C1}}{\overset{R_{C2}}{\int }}{\mathrm{rp}}_{y1}\left(r\right)\mathrm{dr}+2\pi \underset{R_{C3}}{\overset{R_{C3}}{\int }}{\mathrm{rp}}_{y2}\left(r\right)\mathrm{dr}---\left(20\right)$

式中，F_y为预压油垫的承载力。

步骤3，建立静压转台的整体动力学模型。

转台的受力如图4所示。根据转台在外载作用时其所受力及力矩平衡，得到转台的动力 学模型为：

其中，，为转台的转动惯量；F_w为外载，其偏距为b；G＝Mg为转台重量， M为转台质量；w为转台的转速；F_i为转台受到各支承油垫的支承力，F_y为预压力，F_i和F_y由（17）式和（22）式计算得到。

步骤4，求转台的动态响应。

首先，根据（1）、（15）、（20）、（21）式应用Matlab软件编写油膜厚度计算函数、支承 油垫承载力计算函数、预压油垫承载力计算函数及根据平衡方程编写转台的各个方向的加速 度计算函数；然后，在主函数中写入转台各项输入参数，包括转台的结构尺寸、各油垫的结 构尺寸、油液参数及外载和边界条件，再调用承载力计算函数计算各油垫的承载力，代入平 衡方程计算转台各方向的加速度，对其进行积分就得到转台的位移与速度。应用龙格库塔法 进行上述计算，共需要四次修正。重复上述过程进行下一时间转台响应的计算，直到达到时 间边界条件计算才终止。

下面给出一个计算实例。转台的各参数如表1所示。对转台施加不同的外载，然后应用 Matlab求出转台动力学方程的数值解，结果如图6（a）、（b）、（c）、（d）所示，（a）为转台 承受不同阶跃均载时转台的响应曲线，（b）为转台在恒定阶跃外载不同偏距时的响应曲线， 图中转台的平均油膜厚度随着外载的增加而减小，随着偏距的增加而增加。（c）、（d）分别为 转台在恒定阶跃均载但取不同粗糙度值时的响应曲线，当粗糙度形式为周向粗糙度时随着粗 糙度参数的增加转台的平均油膜厚度在增加，而当粗糙度形式为径向粗糙度时规律则正好相 反。由图中还可以看出，转台对阶跃载荷的响应曲线较为平滑，稳定时间较短这反映出静压 支承高刚度大阻尼的特点，同时偏载与表面粗糙度对于转台的响应都有较明显的影响，在设 计转台时应予以考虑和校核。

表1静压转台参数

参数名称 数值 参数名称 数值 支承油垫数目n 8 转台半径R_T/mm 2500 支承油垫内径R₁/mm 160 转台支承圈半径R_L/mm 1500 支承油垫外径R₂/mm 175 支承油垫初始油膜厚度h₀/mm 0.1 预压油垫封油边内径R_C1/mm 185 预压油垫初始油膜厚度h_y0/mm 0.6 预压油垫油腔内径R_C2/mm 220 油垫供油流量Q₀/m³/s 1×10^-4预压油垫油腔外径R_C3/mm 255 油液粘度η/Pa.s 0.091 预压油垫封油边外径R_C4/mm 290 转台质量M/Kg 30827

实验表明，本发明方法可以准确地建立转台的动力学模型，快速计算出转台的响应曲线， 可心为转台的优化设计提供理论指导，对转台的使用也有一定的借鉴。