Magasabb-dimenziós komplex algebrai geometria = Higher-dimensional complex algebraic geometry

摘要

A projekt során magasabb-dimenziós tereken értelmezett lineáris rendszerek pozitivitási tulajdonságait vizsgáltuk. A kutatás középpontjában az ún. nagy egyenesnyalábok álltak, amelyek a vizsgált térben talált legtöbb görbét pozitívan metszik. Racionális függvények eltűnési helyeit és multiplicitásait nézve hozzá tudunk rendelni egy konvex testet (az ún. Okounkov-testet) egy nagy egyenesnyalábhoz, ami a nyaláb aszimptotikus viselkedését nagyon jól leírja. Bebizonyítottuk, hogy az összes varietáson együtt is csak megszámlálható sok Okounkov-test, illetve térfogatfüggvény és bőséges kúp létezik. Leírtuk a lehetséges Okounkov-testeket felületeken, és adtunk példát olyan Fano-varietásra, ahol van sok nem-poliéderes Okounkov-test. Ezen munkánk folyományaként mutattunk olyan sima varietást, amelynek a térfogatvüggvénye transzcendens egy nyílt halmazon. A kérdéskör tanulmányozása közben felmerült egy lehetséges kapcsolat divízorok térfogatai és periódusok között. Általánosítottuk Serre, Kawamata-Viehweg, és Fujita eltűnési tételeit részlegesen pozitív egyenesnyalábokra, illetve foglalkoztunk negatív önmetszésű görbékkel sima felületeken. | During the project we studied positivity properties of linear systems on higher-dimensional spaces. The focus of our research were so-called big line bundles, which intersect most curves in the space in question positively. By looking at vanishing loci and multiplicities of rational functions, one can attach a convex body (the Okounkov body) to a given big line bundle, which describes the asymptotic behaviour of the bundle very precisely. In the course of the project we proved that there exist only countably many Okounkov bodies for all varieties, and that there exist only countably many volume functions and ample cones. We gave a description of the possible Okounkov bodies on surfaces, and gave an example of a Fano variety with many non-polyhedral Okounkov bodies. As a product of our studies we found a variety whose volume function is transcendent on an open subset. Many of these results point towards a possible connection between volumes of divisors and periods. In a different direction, we generalized the vanishing theorems of Serre, Kawamata-Viehweg, and Fujita for partially positive line bundles. In addition to this, we studied curves of negative self-intersection on smooth surfaces.